2 位姿描述和齐次变换 熊有伦机器人技术基础.pptxVIP

2. 位姿描述和齐次变换ENTER齐次坐标系和齐次变换刚体位姿的描述13变换方程齐次变换矩阵的运算坐标变换245位姿描述与齐次变换2.1 刚体位姿的描述坐标描述：指坐标系的位置和方位（姿态）位置的描述方位的描述旋转矩阵的正交性坐标系位姿的描述2.1.1 位置的描述在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.1.2 方位的描述空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.2.1.4 旋转矩阵的意义若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标 变换成{A}中点的坐标.3) 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.2.1.3 旋转矩阵R的正交性上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的2.1.5 坐标系位姿的描述刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示2.2 坐标变换坐标变换（映射mappings）：将在一个坐标系下的描述改变为在另一个坐标系下的描述。平移映射旋转映射一般映射一般映射的齐次坐标表达方法2.2.1 平移映射坐标系{A}和{B}具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式注意：只有在两坐标系平行的时候，才能将两坐标系的位置描述直接相加。2.2.2 旋转映射坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:2.2.3 一般映射一般情况原点既不重合,方位也不同。这时有:2.3 平移与旋转的齐次变换矩阵平移旋转绕Z轴旋转绕X轴旋转绕Y轴旋转绕多个轴的旋转复合运动：多次平移与旋转齐次坐标解释　空间某点的直角坐标和齐次坐标分别为：[0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 [1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴[0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴 [0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴 这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。2.3.1 平移 设: P＝（x,y,z)T; U＝P0=(x0,y0,z0)T 则: V＝P＋P0＝（x+x0,y+y0,z+z0)T可用齐次坐标表示为：平移齐次变换矩阵:2.3.2 旋转ｚiｚjｙjｏiｙiｏjθｘjｘi绕z轴旋转θ角 若空间有一点p，则其在坐标系{i}和坐标系{j}中的坐标分量之间就有以下关系： P=R(Z,θ)P1；变换矩阵R(Z,θ)若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有： 将上式写成矩阵的形式，则有： 同理章目录节目录2.3.3 一般映射的齐次坐标表达方法P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:1、将1加到3维坐标的第4维，原坐标向量变成4×1的齐次坐标向量；2、将[0 0 0 1]加到[R P]的最下面一行，构成4×4的齐次矩阵。2.3.3 一般映射的齐次坐标表达方法 例：如图所示，固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，xb=2，yb=1，zb=0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}的z轴有一个300的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的4×4矩阵表达式。手部的位姿表示XB轴：法向矢量nYB轴：姿态矢量oZB轴：接近矢量a例：如图所示，手部抓握物体Q，物体是边长为2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵式。变换方程为了描述机器人的操作，必须建立机器人本身各连杆之间、机器人与环境的运动关系，因此需要规定各种坐标系来描述机器人与环境的相对位姿关系。变换方程2.3.4 算子左右乘规则原始坐标系OAXAYAZA绕ＸＡ旋转α后得到坐标系O’X’Y’Z’；它再绕Y’旋转β后成O”X”Y”Z”；又绕Z”旋转γ成为OBXBYBZB连续绕运动坐标系旋转 →连续右乘2.3.4 算子左右乘规则用滚\仰\偏转(RPY)表示运动姿态偏转Yaw:绕X轴转 .俯仰Pitch:绕Y轴转,横滚Roll:绕Z轴转, 连续绕固定坐标系旋转 →连续左乘相对于运动坐标系的变换，变换矩阵连续右乘先 写出 齐次坐标变换的 平移算子{A’}坐标系： 沿固定系变换而来，故算子左乘。{A”}坐标系： 沿自身动系变换而来，故算子右乘。若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。 【例4】已知坐标系中点U的位置矢量u=[7 3 2 1]T，将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，求旋转变换后所得的点W