【2017年整理】解步步高大一轮讲义(理)3.4.docVIP

§3.4　定积分 1．用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限． 2．定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx.当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx. 3．定积分的运算性质 (1)?kf(x)dx＝k?f(x)dx (k为常数)． (2)?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx. (3)?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx (acb)． 4．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)|，即?f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?f(x)dx＝?f(t)dt.(　√　) (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx0.(　√　) (3)若?f(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　×　) (4)若f(x)是偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx.(　√　) (5)若f(x)是奇函数，则?f(x)dx＝0.(　√　) (6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是?(x2－x)dx.(　×　) 2．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 答案　C 解析　令v(t)＝0得t＝4或t＝－(舍去)， ∴汽车行驶距离s＝?(7－3t＋)dt ＝(7t－t2＋25ln(1＋t))| ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 3．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则?f(－x)dx的值等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1， 所以f(x)＝x2＋x， 于是?f(－x)dx＝?(x2－x)dx＝|＝. 4．(2013·湖南)若?x2dx＝9，则常数T的值为________． 答案　3 解析　?x2dx＝x3|＝×T3＝9. ∴T3＝27，∴T＝3. 5．由y＝cos x及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________________________． 答案　 解析　如图： 阴影部分的面积为 . 题型一　定积分的计算 例1　(1)设f(x)＝则?f(x)dx等于(　　) A. B. C. D．不存在 (2)若定积分?dx＝，则m等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 思维启迪　(1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算； (2)利用定积分的几何意义计算． 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)如图，?f(x)dx＝?x2dx＋?(2－x)dx ＝x3|＋| ＝＋＝. (2)根据定积分的几何意义知，定积分?dx的值就是函数y＝的图象与x轴及直线x＝－2，x＝m所围成图形的面积，y＝是一个半径为1的半圆，其面积等于，而?dx＝，即在区间[－2，m]上该函数图象应为个圆，于是得m＝－1，故选A. 思维升华　(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解； (2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解． 　(1)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________. (2)sin xdx＝________. 答案　(1)1　(2)0 解析　(1)由题意知f(1)＝lg 1＝0， ∴f(0)＝0＋a3－03＝1，∴a＝1. (2)由于函数y＝sin x在区间[－，]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即sin xdx＝0. 题型二　利用定积分求曲边梯形的面积 例2　如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积． 思维启迪　求出两切线交点M的坐标，将积分区间分为两段、. 解　由题意，