高考数学 高频考点归类分析 错位相减法的运用（真题为例）.docVIP

错位相减法的运用错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如的数列，其中{}为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。 典型例题： 例1. （2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？ 【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得，∴。 若=0，则=0, 当n时，。 若，则， 有当n时，，， 两个相减得：，∴。∴数列公比是2的等比数列。 综上所述，若=0, 则 ；若，则。 （Ⅱ）当且时，令，则。 ∴是单调递减的等差数列（公差为－lg2） 则 b1b2b3…b6=； 当n≥7时，bn≤b7=。 ∴数列{lg}的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。 【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。 【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。 （II）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 。 例2. （2012年天津市理13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，. (Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式； (Ⅱ)记，，证明. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由=，得。 由条件，得方程组 ，解得。 ∴。 (Ⅱ)证明：由（1）得， ①；[∴ ②； 由②－①得， ∴。 【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。 【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。 （Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。 还可用数学归纳法证明其成立。 例3. （2012年天津市文13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，. (Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式； (Ⅱ)记，，证明。 【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由=，得。 由条件，得方程组 ，解得。 ∴。 (Ⅱ)证明：由（1）得， ①； ∴ ②； 由②－①得， ∴。 【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。 【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。 （Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。 还可用数学归纳法证明其成立。 例4. （2012年广东省理14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。 （1）求a1的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有. 【答案】解：（1）∵且成等差数列 ∴ ，解得。 即。 （2）∵………………………………………………① ∴ ……………………………………………………② ①－②，得。 ∵，∴。 ∴，。 ∴数列{}成首项为，公比为的等比数列， ∴。∴。 。 （3）∵（当n=1时，取等号。） ∴， ∴（当且仅当n=1时，取等号）。 ∴。 【考点】数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。 【解析】（1）在中，令分别令n=1，2，由成等差数列，得到关于的三元方程，解之即可可求得。 （2）由，，两式相减即可得，可知，数列{}成首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式。 （3）构造，证得其大于等于0，从而，即（当且仅当n=1时，取等号）。因此。 例5. （2012年广东省文14分）设数列的前项和，数列的前项和为，满足 ． （1）求的值；（2）求数列的通项公式． 【答案】解：（1）当时，。 ∵，∴，解得。 （2）∵ ①， 当时， ②， ∴①②得： ③ ，此式对也成立。 ∴当时， ④。 ∴③④得：，即 。 ∴是以为首项，2为公比的等比数列。 ∴，即，。 【考点】数列递推式，等比数列的性质。 【解析】（1）当时，。由得解得。 （2）两次递推后得到以为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列的通项公式。 例6. （2012年江西省理12分）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。 （1）确定常数，并求； （2）求数列的前项和。 【答案】解：（1）当n＝时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2， ∴k2＝16，∴k＝4。 ∴＝－n(n≥2)。 又∵a1＝S1＝，∴an＝－n。 （2）∵设bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋， ∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－。 【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。