3.连续时间信号与系统的频域分析幻灯片.pptVIP

第3章 连续时间信号与系统的频域分析 3.1.1矢量的正交分解 1.正交矢量 两个矢量V1和V2正交 的条件是两个矢量的点 积为零。 矢量分解 上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。 由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2, …，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性合即 式中，Vi·Vj=0(i≠j)。 第i个分量的系数 3.1.2信号的正交分解 设g1(t), g2(t)是定义在区间(t1, t2)的两个实函数且满足 则这两个函数在区间(t1, t2)正交，或它们是区间(t1, t2)正交函数。 有一个定义在区间(t1, t2)实函数集{g1(t), g2(t)，…，gn(t)}在该集合中所有的函数满足 则这个集合为区间(t1, t2)上的正交函数集。 3.1.3用正交函数集表示信号 若在区间(t1, t2)找到一个完备的正交函数{g1(t), g2(t)，…，gn(t)},在此区间的信号可以精确地用它 们地线性组合来表示 如果用不完备的正交函数集来表示任意函数，则必 然出现误差。近似为 3.2.1周期信号的傅里叶级数 不难证明三角函数集 在区间 内是一个完备的正交函数集，此函数集包 括无穷多项。这样我们就可以将一个周期为T的周期 信号表示为这个正交函数集中各函数的线性组合。需 要指出，这种表示对周期信号有一定要求，即周期信 号应满足狄里赫利条件： (1) 在一周内连续或有有限个第一类间断点； (2) 一周内函数的极值点是有限的； (3) 一周内函数是绝对可积的， 即 对于任何一个周期为T的周期信号，都可以将它表示为三角函数集 中各函数的线性组合，即： 三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式 例 已知周期信号 画出其频谱图 将x(t)整理为标准形式 利用欧拉公式 可将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅 里叶级数 可将上式简写为 这样x(t)的指数形式为 指数形式与三角形式系数之间的关系为 3.2.2周期信号的功率谱 周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界 的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将 周期信号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信 号的功率。显然，对于周期信号 ,无论它是电压 信号还是电流信号，其平均功率均为 将x(t)表示成傅里叶级数并代入上式可得 上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关 系，称为功率信号的帕塞瓦尔关系式。它表明：周 期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是 守恒的。信号的幅频特性决定了信号的平均功率分 布规律，显然，周期信号的功率谱也是离散谱。从 周期信号的功率谱中可以直观的看到平均功率在各 频率分量上的分布情况。 2、奇函数 同理可得 3.2.4周期信号傅立叶级数的近似与傅立叶级数的收敛性 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普 遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以 表示为傅里叶级数。 1、最小均方近似 一般来说，任意周期函数表示为傅立叶级数时需要 无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应中，经 常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，选取 有限项级数是一种近似的方法，所选项数越多，有 限项级数越逼近原函数，也就是说，其方均误差越 小。 2、 傅立叶级数的收敛条件 周期信号展开傅立叶级数，必须满足狄利克雷 （Dirichlet）条件： 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点 的数目应是有限个。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件3:在一周期内，信号绝对可积 3.2.5周期矩形脉冲信号的频谱 将x(t)展开成指数形式傅里叶级数 周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一 条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱 或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基 波频率 的整数倍频率上。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然 随 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着 的增大而减小，当 时， 。 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无 穷，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过 来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定 能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周 期信号在周期趋于无穷时的极限，从而