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华东理工大学 线性代数 作业簿（第八册） 学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________ 6.1 二次型及其标准型 1.设矩阵与合同，则下述选项正确的是 （ ）. () ； () ； () ； () 与有相同特征值. 解：. 提示：与合同即存在可逆矩阵，使得，故. 2．设二次型, 则此二次型的矩阵, 二次型的秩为______, 二次型的正交变换标准型为_________ __________. 解：，， . 提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）。因此求二次型的秩有两种方法，1) 直接求二次型的矩阵的秩，2）先求的特征值，有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几. 设实二次型 其中，则二次型的矩阵为_________. 解：. 提示： 的值是一个数，即，故有。而为对称矩阵. 若元(2)实二次型 的正交变换标准型为，则 ______，矩阵的迹为 _____. 解：0, . 提示：的特征值为，根据 易得. 若二次型的秩为2，则参数的值为 _____，表示的曲面为__________. 解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵的秩为2，故，由此可求得=3。再求出的特征值为，即标准型为，由此知为椭圆柱面。 已知二次型（a0） 通过正交变换化成标准型，求参数a及所用的正交变换矩阵. 解： 二次型的矩阵为，且，由 即 得 。有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。分别求出属于这三个特征值的特征向量,,并把它们单位化，得正交变换矩阵为. 7. 已知二次曲面方程 可以通过正交变换 化为椭圆柱面方程。求a,b的值和正交矩阵P. 解: 由与相似，故，=0，进而得. 代入后分别求出的线性无关的特征向量,,, 并把它们单位化，可得正交变换矩阵为. 6.2 正定二次型与正定矩阵 1. 设n阶方阵都正定，则下述结论不正确的是 （ ）. （A）正定； （B）正定； （C）正定； （D）正定. 解：B. 未必对称，故不正定. 2．与“实二次型 （其中）是正定的”等价的是______. （A） 对任意，恒有； （B）二次型的负惯性指数为零； （C） 存在可逆阵，使得； （D）的特征值均不小于零. 解：C. 若用0表示为负定矩阵，则下述结论正确的是 ( ).　 （A）若0，则 0; （B）若0，则0; （C）若0，则对任意与同阶的可逆阵都有 0; 　（D）若0，则其中至少有一个0. 解：C. 提示：根据惯性定理可知第三个选项成立.事实上, 0等价于 , 又等价于　，等价于0. 4. 设是正定二次型，则的取值范围是__________. 解：. 提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大于零求解. 5. 设为一个三阶矩阵，其特征值为-1，-1，2，则当满足______条件时，为正定二次型, 此时的规范型为_____________. 解：,. 提示：由的特征值为-1，-1，2知的特征值为 又为正定二次型，其特征值必须全部都大于零，故得. 6.设二次型经正交变换可化为标准型，证明：二次型经相同的正交变换可化为标准型． 证明： 　　　　 ＝ 　　　　 ＝（）＋（） 　　　　 ＝． 7. 设二次型 ，试用正交变换化二次型为标准型，并讨论当取何值时，为负定二次型． 解：根据上一题的结论，我们只需先求出二次型的正交变换矩阵及其标准型。经计算得二次型的矩阵的特征值为-2,-2,4. 对应的线性无关的特征向量为. 经施密特正交化，单位化可得所求的正交变换矩阵为, 而在正交变换下的标准型为．　故有： 在正交变换下的标准型为　． 二次型为负定二次型，即, ,故有（也可用顺序主子式来解）. 8. 设 为一个n元实二次型，为A的特征值，P为正交矩阵，且. 试证明： （1）； （2）在时取到的最大值就等于A的最大特征值. 证明：1）令 ，则 ，故， 又，故1）得证. 2） 令，显然，代入得．由1)得，故在时取到的最大值就等于A的最大特征值 （同理取，知在时取到的最小值就等于A的最小特征值）. 9. 证明对任意的实对称阵A，一定存在实数，使得是正定矩阵． 证明： 等价于二次型 (),由第8题的结论知：（其中为A的最小特征值），故取时有 ().