(极限运算法则两个重要极限.docVIP

复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限 2．3极限的运算法则 2．3．1极限的性质 定理1：（唯一性）如果极限存在，则它只有一个极限。即若，，则 定理2 ： （有界性）若极限存在，则函数在的某一空心邻域内有界 定理3 ： （局部保号性）如果，并且（或），则在的某一空心邻域内，有（或） 。 推论 若在的某一空心邻域内有（或），且，则（或） 。 2．3．2极限的运算法则 定理1： 设,,则 (1) = (2) 若.(常数),则 (3) 证明 因为,，利用2。2定理，它们可以分别写为: =, 其中均为无穷小量，则有： (1) +=A+B+[] 由2．2定理知 仍为无穷小量,所以+以A+B为极限. 即=. 容易证明： 例1 求 解 ＝15 例2 求 解 ＝ 例3 求 解 因为＝0根据无穷大于无穷小的关系 所以有 ＝ 注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。 例4 求 解 ＝＝ 例5 解 ＝＝ 例 6 求 解 ＝ 结论： 例7 求 解 ＝＝ 小结： 1．极限运算法则 2．求极限方法 1）设为多项式，则。 2）、均为多项式，且，则 3）若，则 4）若 为“”型时，用因式分解找出“零因子”。 5）结论： 6）若有界，则 7）若为“”型时，一般是通分或有理化后再处理。 2．4两个重要极限 2．4．1判别极限存在的两个准则 准则1 （夹逼定理）设函数在的某一邻域内满足 且有极限，则有 准则2 如果数列单调有界，则一定存在。 2．4．2两个重要极限 1．极限 例8 计算 解 ＝·=·=1 例9计算 解 ＝＝ ＝ 例10计算 解 ＝ 结论： 例11计算 解 ＝ 例12 求 解 ＝ 例13 求 解 错误做法：＝1 正确做法：＝ 2．极限 例14 计算 解 ＝ 例15 计算 解 ＝ 例16 计算 解＝＝＝ 例 17计算 解 ＝＝ ＝ 例18计算 解 ＝ ＝＝ 例19 解 令 所以 ＝ 小结：⒈ ；＝1；＝ ⒉； ＝1；＝1 作业P27——1（3） （6） ，P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3） 讲述 我们先介绍极限的运算法则 证明从略。 以上性质只对的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。 设为多项式 当时， 因为为多项式，所以极限值等于在处的函数值 因为为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。 在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。 在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。 “”型，先设法 约去非零因子。 “”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。 先通分，再计算。 一般 证明略 例8、例9 结果可作 为公式使用。 可证得此结论。 和差化积公式 练习： ＝4 因为当时， 一般 ＝e2 例18，例19视情况选讲 吉林工业职业技术学院教师教案用纸 序号 1