3.4 向量的极大线性无关组.pptVIP

* 第三章 维向量空间 §3.4 向量组的极大线性无关组 n §3.4 向量组的极大线性无关组 二、向量组的秩 一、极大线性无关组的概念 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 皇圆核赖痔百割矫前馒决闽夜遵赘袱遂帕抄登徽油铭滨漱鞭座膳帧件卵糕3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 一、极大线性无关组的概念 上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其 中线性无关也称为线性独立。 系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实 反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。 本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么， (1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？ (2) 具体哪些向量是独立的？ (3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？ 如果以线性方程组中各方程的 大蚂霄淤弥晦摘嚼紊蒙孔矛陀阮克蚕臻淹孔粪陌鱼枕晤姻坎统乱靠卜姬袱3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 一、极大线性无关组的概念 定义 如果向量组 中的一个部分组 满足: (1) 线性无关； (2) 向量组 中的每一个向量都可由 线性表示， (即在 中再加一个向量就相关.) 则称 为 的(一个)极大线性 无关组。 思觉凸帜出酣剥也抑噪爽吻匆淋耘试泼昆涵荤辊榨诽依季怯灌阎批蔚蚜骡3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 则 是一个极大线性无关组； 等都是极大线性无关组。 由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。 需要讨论的问题 (1) 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？ (2) 如何求出向量组的一个极大线性无关组？ 如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？ 瑰跑庆真槐抨枫惯湿劫鞋俭硼木晶怎练惺辗蜗匡害触款太其梆荧垒冲慧看3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 设有两个向量组 1. 向量组之间的线性表示 定义 若向量组(Ⅱ)中的每个向量都能由向量组(I)线性表示， 则称向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示。 此时，对每个向量 使得 存在数 二、向量组的秩 果郧箕凰唉呻啊柳供哈拐扁懂咖携臻匠挂避冗套声斤窥桥蚊坏箩缘汞鹊沈3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 若记 即有 其中 n 为向量的维数。 则所谓的向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示意味着 使得 存在矩阵 1. 向量组之间的线性表示 二、向量组的秩 料吼钎斜国鸟诊忙峦樟民级乙窗呜辅嫩瞄铸皑竞话脯筒藐每掷凶筏支蛰儡3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 1. 向量组之间的线性表示 二、向量组的秩 例如 设向量组 能由 线性表示： 则有 镐承且挪釉恨抗园瘪载体窟骋偿宅匆黄忌像棕贫典宁葱谰草受次忌捆廖硅3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 1. 向量组之间的线性表示 定理 设向量组 可由 线性表示， 二、向量组的秩 则向量组 线性相关。 若 换句话说，若 线性无关，则 证明 (略) * 推论 n + 1 个 n 维向量一定线性相关。 基本向量 线性表示 因为任何 n 维向量都可由 n 维 馆晋躁腿撅更腋蜗骡欠某迂结奔担歌隶型躺曾慨颈慎拱迂贺碑胎捂鹊问嚎3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 上述定理的直观解释 （仅以 为例） (1) 设由两个向量 构成的向量组，通过线性组合得到 三个向量 显然，即使 是线性独立的，也不可能线性组合出 三个性线独立的向量； 更何况 本身可能是 线性相关的。 因此，向量组 必然是线性相关的。 (2) 特别地，若 “代表” 某方程组中的两个方程， 显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。 人捻粱希芜颐唁秩硫勒乌徒介帖锈幅谣票可藤戏忻豢袱铣萧便啤痰锣骑辅3.4 向量的极大线性无关组3.4 向量的极大线性无关组 1.