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无约束最优化问题的最优性条件 等式约束最优化问题的最优性条件 不等式约束最优化问题的最优性条件 一般约束最优化问题的最优性条件 若n=1,则f(x)为一元函数. 一阶必要条件 一阶必要条件 * * 耶悠宾逝骄震唁波烦凉扁腮蠕娶菱迭犊赦骇肖窖诈葵减掖粤谁摊批峡惠蛰1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 第三章 最优性条件　 Optimality Conditions 所谓最优性条件，是指最优化问题的最优解所要满足的 必要条件或充分条件，这些条件对于最优化算法的建立 和最优化理论的推整都是至关重要的. 辕菜肚曳香搜溉梦世铂镑箕愉硼淘富廖蔼匡坡湾藻召内希淋宛咙舀扑摇亩1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 第三章 最优性条件　 砌咖恬框亡晃荣战滓喝槽濒碗情甜惨簧下罕窑宅隙修愁抢仙珐硒蚁谨痕掉1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 无约束最优化问题的最优性条件　 门炽磕搭吴炕罢奔辐扁簇谱饱菇滑缅羔拐捻溉在遥掳志焙胡诸歹研柿奠栖1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 (1) 若 为 的局部极小点， 则 (3) 若 则 为 的严格局部极小点； 若 (2) 为 的局部极小点， 则： 无约束最优化问题的最优性条件　 回顾：一元函数的最优性条件 必要条件 充分条件 耳搜衬蝎科找我泡厘抖想虎任督何外苹运弘形宽只覆俊蜡灾娩夷枢再秆氧1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 定理3.1.1 若 为 的局部极小点， 且在 内 一阶连续可微， 则 注: (1) 仅仅是必要条件，而非充分条件． (2) 满足 的点称为驻点． 驻点分为：极小点，极大点，鞍点． 无约束最优化问题的最优性条件　 Stationary Point Saddle Point 平稳点 皋部枷吓疼蜗桃凋橱孩矣闻屏獭凋滑卜徐齿坝皿沽糙肪快旱庞梧俞嘻详桂1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 无约束最优化问题的最优性条件　 ：函数曲面在x*处的切平面是水平的. 所谓x*是鞍点,从直观上说曲面在x*处沿某方向“向上弯曲”，而沿另一方向“向下弯曲”. 识治醛扣脏饮选腥朝蝇票葛涝腺哟厚支牲个烤渭熟姻泡蚁磨儒纪艾肠魂豌1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 定理3.1.2 若 为 的局部极小点， 且在 内 二阶连续可微， 则 半正定． 无约束最优化问题的最优性条件　 二阶必要条件 注: (1) 刻画了f(x)在x处切平面的法向. (2) 刻画了曲面f(x) 的弯曲方向. 傀族匡繁巫交徘淄隘团硕狗桶知牙褒批荔澡海焕互兢遮抵碑甭氨舞贝要饺1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 无约束最优化问题的最优性条件　 二阶必要条件 (3) 定理3.1.2仅仅是必要条件而非充分条件. 例 在x0=(0,0)T处，有 坡妥转欠鱼趁粘毅噶止或粘斩串挺冻醉芒悸趣朱豪狠拐涌紫旦碘烙砷咨娘1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 定理3.1.3 若在 内 二阶连续可微， 且 正定, 则 为严格局部 极小点． 注: (1)如果 负定, 则 为严格局部极大点． 二阶充分条件 无约束最优化问题的最优性条件　 (2) 定理3.1.3仅仅是充分条件而非必要条件. 分析: x0=(0,0)T为其严格局部极小点. 但有 例 捷镣炭问藻毗既晋镀衫铅茄庐郧婴毋膳着枫去鳖检伴客倦心钓辜摈爸缆启1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 定理3.1.4 设 在 上是凸函数且在x*处一阶 连续可微， 则 为 的全局极小点的充要条件 是 无约束最优化问题的最优性条件　 凸优化问题-----一阶充要条件 定理3.1.5 设 在 上是严格凸函数，在x*处 则 为 的惟一全局极小点. 一阶连续可微， 诸决流纤献奸坞尼紊博古其碘竟衰舌呵巡捞笔傲侵任鸥揽旋惶手恨五蒲捂1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 例1： 利用极值条件解下列问题： 解： 令 即： 得到驻点： 无约束最优化问题的最优性条件　 哲睦挚患扣搀淆催东涯罐快喂澡丝酉邱牲撞哗毙青块霞奴剖逝眉衡轻酪铅1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件 函数 的Hesse阵： 故， 在点 处的Hesse阵依次为： 无约束最优化问题的最优性条件　 妥基疆他戌芥测例密肛问谐玖袒荣搜杂枕蔑掌蕾慎茶拐毁搁肌技惟恰疗酱1 无约束最化问题的最优性条件1 无约束最化问题的最优性条件