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巧用“三射线定理”求解空间角度问题 数学组：石胜军 立体几何试卷中常遇有空间角度计算问题：求异面直线所成的角、求直线与平面所成的角、求平面与平面所成的角等，这是学生们普遍感觉较为困难的一类问题．这类问题有两种常用的求解方法：一是通过作图，找出并证明问题所涉及到的对应角，然后利用平面几何知识或三角函数知识求出这一角度的值；二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算去求角．本文不打算在这两种固定不变的思路上做文章，而是意图通过介绍一个定理，利用数道例题，来给出用于求解空间角度问题的另外一种手段，以期能帮助激发同学们的求异与创新思维． 1．三射线定理及其证明 从空间一点P任意引三条不共面的射线PA、PB、PC，设BPC，CPA，APB，且二面角A—PC—B为，则．为，则 …(2) 二面角为，则…(3) 证明：如图，已知PA、PB、PC是这样的三条射线， 不妨设BC⊥PC于C，AC⊥PC，则A—PC—B的平面角， ∴ACB， 设PA，PB，PC，AC，BC，AB， 在RtBPC中，有，， 同理在RtCPA中，有，， 而在APB中，有， 在ACB中，有， ∴ ， 而，∴，代入上式即得 ，证毕．，PA与PC所成的角为，而PA与PB所成的角为，则有． 此时的三射线还是PA、PB、PC，但是附加有条件平面PAC⊥平面PBC，∴二面角A—PC—B的大小，将代入三射线定理即得． 为叙述方便起见，在下文中，我们将把由三条射线两两形成的三个角都称之为做对应于的某条射线的“面角”．如图1中的BPC我们将其称之为对应于射线PA的一个“面角”；图2中的APB我们将其称为对应于射线PC的一个“面角”等．因此，三射线定理也被称为三面角的余弦定理，常被记为的形式。 2．三射线定理的应用[例1]（2008年海南宁夏高考试题）如图，已知点P在正方体ABCD-的对角线 上，. （Ⅰ）求DP与所成角的大小； （Ⅱ）求DP与平面所成角的大小． [解答]PDD/， 则得到三条射线DP、DA和DB， 由PDD/与PDB互为余角， ∴只需求出PDB， 注意到二面角A—DB—P是直角， 棱DB所对的面角为PDA， ∴， 即，∴， ∴锐角PDB， ∴直线DP与CC/所成的角为； （Ⅱ）连结AD/，作PQ⊥AD/于Q，连结DQ， ∵AB⊥AD/，∴PQ//BA， 而BA⊥平面ADD/A/，∴PQ⊥平面ADD/A/， ∴PDQ即为直线DP与平面AA/D/D所成的角，且平面PDQ⊥平面ADD/， 设二面角A—DQ—P的大小为，则， 其棱DQ对应的面角是PDA， ∴……① 同理……② 注意到QDA与QDD/互为余角，设QDA=，则①②分别为 和， 即和， 两式两边平方相加得， ∴，∵PDQ为锐角，∴，∴所求的角为． 本例若采用常规的几何方法或者是向量运算的方法都存在一个解题难点，那就是如何确定出P点的位置．而本解法中的两次求角都不用顾及点P的位置，用到的也只是三射线定理的特例，其解法关键是找到从一点出发的对应的三条射线．本例中这样的三条射线所具有的主要特征是由这三条射线所确定的三个平面中总有两个平面相交成直角，而这样的条件在一些常见的几何体中随处可见． [例2]（黄冈中学2010届高二年级三月份月考试题）如图5，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边CD上的一点，将AED沿AE折起到AED/的位置时有平面ACD/平面ABCE，且BD/D/C． （Ⅰ）判断并证明E点的具体位置； （Ⅱ）求点D/到平面ABCE的距离． [分析]由已知CD/BD且CD/BD/，可知CD/平面BDD/，∴CD/DD/，从而由ED=ED/可得E为CD边上的中点．由于点D/在底面ABCE上的射影必在AC上，注意到AD/=AD=4已知，因此为求出点D/到平面ABCE的距离，只需求出D/AC的某一三角函数值来，为此考虑利用三射线定理． [解答]（Ⅰ）由以上分析可知E为CD边上的中点； （Ⅱ）注意到平面D/AC⊥平面ABCE， 利用从A点出发的三条射线AC、AE、AD/， 注意到直二面角D/—AC—E的棱AC所对的面角是D/AE， ∴有， 其中D/AE=DAE，EACDAE， ∵，∴，， ∴，即，∴， ∴点D/到平面ABCE的距离． 表面看，本题的目标不是求角，其实空间求距离问题一般都会化为解三角形问题，常常需要求出对应的角或求出对应角的某一个三角函数值．一旦我们进一步熟悉了三射线定理，那么，“在求距离问题中，先考虑利用定义找出对应线段，然后再计算”的惯性思维就会被突破，我们完全可以在“心中想有这样的一段垂线段存在，而不用把它具体地作出来”的条件下去求出对应的距离． [例3]（2009