(切线的判定教师版.docVIP

切线的判定与性质 1、如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值． 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线． （2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长． 解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． （2）∵△ADC∽△BAC（已证）， ∴=，即AC2=BC×CD=36， 解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD==2， ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2， 在Rt△AFD中，AF==2． 点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．　 2、如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E。 （1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长。[中国教育出版*^#@网] 解析： 3、如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE= （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求的长． 考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形． 分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可； （2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°； 其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON==； 最后，由弧长公式l=计算的长． 解答：（1）证明：如图， ∵ME=1，AM=2，AE=， ∴ME2+AE2=AM2=4， ∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN∥BC， ∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC． 又∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：如图，连接ON． 在Rt△AEM中，sinA==， ∴∠A=30°． ∵AB⊥MN， ∴=，EN=EM=1， ∴∠BON=2∠A=60°． 在Rt△OEN中，sin∠EON=， ∴ON==， ∴的长度是：?=． 点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．　 4、已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题：几何综合题． 分析：（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线． （2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径． 解答：（1）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA．（1分） ∵∠OAD=∠DAE， ∴∠ODA=∠DAE．（2分） ∴DO∥MN．（3分） ∵DE⊥MN， ∴∠ODE=∠DEM=90°． 即OD⊥DE．（4分） ∵D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线．（5分） （2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3， ∴．（6分） 连接CD． ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠AED=90°．（7分） ∵∠CAD=∠DAE， ∴△ACD∽△ADE．（8分） ∴． ∴． 则AC=15（cm）．（9分） ∴⊙O的半径是7.5cm．（10分） 点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．　 5、如题图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5, BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证：∠BCA=∠BAD; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 解析： (1