高考数学理（北师大版）一轮复习课件：9-9离散型随机变量的均值与方差、正态分布.pptVIP

(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由。 【解】 根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案。对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1。 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2。 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 【规律方法】　均值与方差的实际应用 (1)DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度，DX越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，DX越小，X的取值越集中在EX附近，统计中常用来描述X的分散程度。 (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。 (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； 解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元。则X1的分布列为 若按“项目二”投资，设获利X2万元， 则X2的分布列为 (2)若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资)，问大约在哪一年的年底总资产(利润＋本金)可以翻一番？ (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【例4】　(1)(2015·湖北卷)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) 考点四 正态分布 【解析】　由曲线X的对称轴为x＝μ1，曲线Y的对称轴为x＝μ2，可知μ2μ1。 ∴P(Y≥μ2)P(Y≥μ1)，故A错； 由图像知σ1σ2且均为正数， ∴P(X≤σ2)P(X≤σ1)，故B错； 对任意正数t，由题中图像知，P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C正确，D错。 【答案】　C (2)(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σξμ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σξμ＋2σ)＝95.44%) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 【规律方法】　正态分布下两类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1。 (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个。 变式训练4　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ1)＝a，a为常数，则P(－1≤ξ≤0)＝________。 (2)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg的概率为________。(精确到0.000 1) 0.022 8 S　思想方法 感悟提升 ⊙3种方法——求离散型随机变量均值、方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解。 ⊙1个性质——正态分布的一个性质 若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1的性质。 第九章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第九节　离散型随机变量的均值与