中科院 现代数字信号处理课件-完全版解析.ppt

4.4 AR谱估计的方法 AR谱估计方法可归结为求解AR模型系数或线性预测器系数的问题。 AR模型参数估计方法： 信号预测误差最小原则（或预测误差功率最小） 自相关法（Levison递推法） Burg法 协方差法 修正协方差法（前后向线性预测最小二乘法） 最大熵原则——最大熵谱估计方法 1、 自相关法——列文森（Levinson）递推 估计方法：自相关法的出发点是选择AR模型的参数使预测误差功率最小；采用Levison-Durbin递推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型参数。 预测误差功率为 假设信号x(n)的数据区间在0≤n≤N-1范围，有P个预测系数，N个数据经过冲激响应为api(i=0,1, 2, …, P)的滤波器， 输出预测误差e(n)的长度为N+P， 因此应用下式计算: 预测误差功率最小，得到 采用Levinson-Durbin递推法求解Yule-Walker方程： 由k=1开始递推，递推到k=p，依次得到{a11,σ21}，{a21,a22, σ22}，…，{ap1,ap2,…,app,σ2p}。 AR模型的各个系数以及模型输入白噪声方差求出后， 信号功率谱用下式计算： 图 4.5.1 利用列文森递推法计算功率谱的流程图 性能分析：该方法需要基于有限的观测数据估计自相关序列，当数据长度较短时，估计误差会比较大，AR参数的计算就会引入很大的误差。从而导致功率谱估计出现谱线分裂与谱峰频率偏移等现象。 2、 伯格（Burg）递推法 估计方法：直接由时间序列计算AR模型参数的方法，求前、后向预测误差平均功率最小时的反射系数kp，进而求AR模型参数ak和σ2w。 利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有 周期图的均方值 将上式代入周期图的均方值公式中， 得到 将ω=ω1=ω2代入上式，得到 信号的功率谱真值是σ2x,说明周期图的方差很大，周期图的均方误差也是非常大。 用这种方法估计的功率谱在σ2x附近起伏很大，故周期图是非一致估计，是一种很差的功率谱估计方法。 图 4.2.2 白噪声的周期图 4.2.3 经典谱估计方法改进 Bartlett平均周期图法 窗口处理法平均周期图 Welch法（修正的周期图求平均法） 存在问题：BT法和周期图法估计功率谱都不是一致估计，频率分辨率低。 解决方法：对周期图进行修正，使其满足一致估计条件。可以采用平滑处理的方法，使其方差减小。 1. Bartlett平均周期图法 主要思想：对序列x(n)进行L次独立观测或将其分成L段，计算每组观测数据的周期图，再将L个周期图加和后求平均。  假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0≤n≤M-1，共进行了L次独立观测，得到L组记录数据，每一组记录数据用xi(n), i=1, 2, 3, …,L表示； 或对长为N的数据x(n)分成L段，每段有M个数据，N=LM，第i段数据表示为xi(n)= x(n+iM-M)。 第i组的周期图用下式表示： 估计方法： 将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下： 偏移分析： 估计效果分析： 平均周期图仍然是有偏估计，偏移和每一段的数据个数M有关； 偏移的大小反映分辨率的高低。 方差分析： 平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L，L越大方差越小，功率谱越平滑；相应的，M越小，偏移越大，分辨率越低； 估计的均方误差也减少； 以分辨率的降低换取了估计方差的减少，估计量的方差和分辨率是一对矛盾。 图 4.2.3 平均周期图法 2、窗口处理法平均周期图 主要思想：用一适当的功率谱窗函数W(ejω)与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的的。 式中 -(M-1)≤n≤M-1 估计方法： 那么 周期图的窗函数法就是前面提到的BT法的加权协方差谱估计。 又 偏移分析： 估计效果分析： 可得 周期图的窗函数法仍然是有偏估计, 其偏移和wB(m)、w(m)两个窗函数有关。 如果w(m)窗的宽度比较窄，M比N小得多，这样|m|N，则wB(m)~1, 由于w(m) 比wB(m)窄， W(ejw) 的主瓣比WB(ejw)宽，故可以利用窗函数法进一步平滑周期图，减小估计方差；但相应的会增加偏移，降低频率分辨率。 3. 修正的周期图求平均法（Welch法） 主要思想：对Bartlett法进行修正，使之更适合FFT计算。 选择适当的窗函数w(n)，并在周期图计算前直接加进去； 在分段时，可使各段之间有重迭，这样将会使方差减小。 估计方法： 首先把数据长度为N的信号x(n)分成L段，每一段数据长度为M，N=LM； 然后把窗函数w(n)加