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北京航空航天大学 2010－2011 学年第一学期期中 《 工科数学分析(I) 》 试卷 班号 学号 姓名 成绩 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 成 绩 阅卷人 校对人 2010年11月25日 一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分） 计算极限 解： ………….. （3分） = …………… （2分） 求下面无穷小的阶 . 解： ………………………（3分） 为1阶 (2分) 假设 求. 解： ……………….. (2分) ……….(3分) 假设求. 解: (2分) (3分) 假设求 解: (3分) (2分) 求在的阶Taylor展开,并写出peano余项. 解: (2分) (3分) 假设函数, 判断函数的凹凸性. 解 (4分) 凸函数 (1分) 已知为正整数. 求: 满足什么条件，函数在连续， 满足什么条件，函数在可导. 解: ，函数在连续 (2分) ，函数在可导数 (3分) 二 证明下面问题（10分） 假设 证明数列单调有界，且极限为. 证明: 1) 数列单调递减有下界(5分) 2) 下面说明极限为(5分) , 三. 证明下面问题（10分） 假设数列满足, 用Cauchy收敛定理证明收敛. 证明 1) (5分) 2) 柯西定理写正确5分 四. 证明下面不等式 (10 分) . 证明: 1) 下面每个式子2分,共6分 2) (2分) 因此 3) (2分) , （10分）假设函数和在存在二阶导数，并且,且 ，证明下面问题: 1）在内； 在内至少存在一点在满足. 证明: 1) 下面每个式子2分,共6分 用反证法证明,假设. 则 矛盾,结论得证. 2) 令 …….. ( 2分) ………………(2分) …………(1分) 六 (10分) 假设函数在存在二阶导数,并求解和证明下面问题. 1) 写出在的Lagrange 余项的Taylor公式; 2) 证明在至少存在一点满足. 证明 1) 下面每个式子2分 介于之间. 介于之间. 2) 2分 2分 而 在区间上的最大值, (2分) 因此 七 （10分）证明下面问题 假设定义在上. 如果对内任何收敛的点列都有存在, 则在上一致连续. 证明: 1) 写出不一致连续定义3分 如果在上不一致连续, 则 2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列) 则存在 3) 下面结论4分 构造数列收敛且极限为, (2分) 则有已知条件存在, 因此 (2分) 与1)矛盾. 八 （10分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 假设函数, 证明下面问题 a) 对于任意的自然数, 方程在中仅有一根. b) 设满足, 则 证明: 1) 5分 ,由介值定理. (3分) (2分) 因此根唯一. 2) 5分 由于（2分） 由极限的保号性 （2分） 单调性和夹逼定理 （1分）