[二试题分析.docVIP

第二讲 平面几何 在国内外数学竞赛中，平面几何问题有着十分突出的地位，常常需用严密的逻辑推理和灵活的证题方法。在1998年2月，于美国费城召开的公开科学家大会上，科学家们一致提出：二十一世纪教育——几何万岁！虽然这种说法有失偏颇，但从某个角度也能足见几何的重要。 就国内每年举办的数学竞赛联赛而言，平面几何题基本处于第二试第一题的位置，含50分，占总分的，如果能在二试中较顺利的解决平几题，一方面为整个考试取得理想成绩打下良好的基础，另外也可以为解决后面的问题增添足够的信心。 一:极端原理在平几证题中的运用: 例一:(1991年全国联赛二试二)设凸四边形ABCD的面积为1,求证在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点,使得以其中任意三点为顶点所够成的四个三角形的面积均大于 分析:寻找极端元素,由四边形的图形特征不难发现,面积最大的三角形其三个顶点必定为凸四边形的四个顶点中的三个,于是首先考察四个顶点构成的四个三角形. 证明:考虑四个三角形: △ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积，不妨设S△DAB最小，则： ⑴若S△DAB，此时，显然A、B、C、D即为所求的四个点。 ⑵若S△DAB，则S△BCD ，设G为△BCD的重心，于是有： S△GBC=S△GCD=S△GDB=S△BCD 于是,B、C、D、G四点即为所求 ⑶若S△DAB=而其他三个三角形的面积均大于， 由于 S△ABC=1-S△CDA=S△BCD 故过点A作平行于BC的直线必交CD于其内部一点，设为E。 由于 S△AEB= S△AEC S△ABD= S△BCE= S△BCA 于是，A、B、C、E四点即为所求 ⑷若S△DAB=而其他三个三角形中还有一个面积为，不妨设S△ADC=，则AD∥BC 又 S△BCA= S△BCD= 故得： BC=3AD 如图，取AB、DC的四等分点分别记为E、F，连EF 由比例关系不难得出AD=2EF 故：S△EFB= S△EFC= S△ABF= ··S△BCD=·· 而：S△BCE= S△BCF S△EFB 于是，E、B、C、F四点即为所求。 二、共线点与共圆点： 例二：如图所示，H为△ABC的垂心。试问图中共有几组四点共圆？ 分析：观察图形可知，图中的四点共圆分为两类，即 含点H和不含点H 含点H的四点共圆有： A、F、H、E B、D、H、F C、E、H、D 不含点H的四点共圆有： A、F、D、C;B、D、E、A;C、E、F、B 评注：①四点共圆是考点 ②熟悉基本图形 ③注意字母的轮换 例三：如图所示，H为△ABC的垂心，AD、BE、CF分别为三边BC、CA、AB的高。 求证：H为△DEF的内心。 证明：∵A、F、D、C四点共圆 ∴∠3=∠Α ∵A、E、D、B四点共圆 ∴∠4=∠Α ∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2 ∴DA平分∠EDF 同理可得：EB平分∠DEF、FC平分∠EFD 故： H为△DEF的内心 注：称△DEF为△ABC的垂三角形。 例四：（2001年全国联赛二试一）如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。 求证：①OB⊥DF，OC⊥DE。 ②OH⊥MN。 证明：①：∵A、C、D、F四点共圆， ∴ ∠BDF=∠BAC， 又∵ ∠OBC=（180。-∠BOC）=90。-∠BAC ∴ OB⊥DF 同理：OC⊥DE ②：∵ CF⊥MA ∴ MC2-MH2=AC2-AH2 ① ∵ BE⊥NA ∴ NB2-NH2=AB2-AH2 ② ∵ AD⊥BC ∴ AB2-AC2=BD2-BC2 ③ ∵ OB⊥DF ∴ BN2-BD2=ON2-OD2 ④ ∵ OC⊥DE ∴ CM2-CD2=OM2-OD2 ⑤ ①-②+③+④-⑤，得 NH2-MH2=ON2-OM2 即：MO2-MH2=NO2-NH2 ∴ OH⊥MN 注：本例需先证以下结论：若四边形的两组对边的 平方和相等，则两对角线互相垂直。 证明：充分性： 设四边形ABCD中，AB2+CD2=AD2+BC2，如图，作AO⊥BD于O，CO