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中學生通訊解題第二期參考解答與評析 問題編號 88201 □ ×□□ □ ＋□□ □□ ４ ×１７ ６８ ＋２５ ９３  將1、2、3、4、…、9共9個數字填入下列空格，每格數字均相異，且必須符合下列的運算式。試問該如何填上這些數字？(作答時，請說明你的思考過程)參考解答：解答的思考過程：依題意可設a×bc=de再加□□=□□ 當a=1c=e且b=d(不合) 當a=9 or 8de+□□100(不合) 當a=7當b2(不合) 當b=1當c3(不合) 當c=27×12=84再加□□=□□,填1,5,6,9(不合) 當a=6當b2(不合) 當b=16×1c當c=2,4,5,7,8,9(不合) 當c=36×13=78再加□□=□□,填2,4,5,9(不合) 當a=5e=0或5(不合) 當a=4當b3(不合) 當b=1當c=2,5,6(不合) 當c=34×13=52再加□□=□□,填6,7,8,9(不合) 當c=74×17=68再加25=93(合) 當c=84×18=72再加□□=□□,填3,5,6,9(不合) 當c=94×19=76再加□□=□□,填2,3,5,8(不合) 當b=2當c=1or c3(不合) 當a=3當b4(不合) 當b=1當c=2,4,5,7(不合) 當c=63×16=48再加□□=□□,填2,5,7,9(不合) 當c=83×18=54再加□□=□□,填2,6,7,9(不合) 當c=93×19=57再加□□=□□,填2,4,6,8(不合) 當b=2當c=1,4,5,8(不合) 當c=63×26=78再加□□=□□,填1,4,5,9(不合) 當c=73×27=81再加□□=□□,填4,5,6,9(不合) 當c=93×29=87再加□□=□□,填1,4,5,6(不合) 當a=2當b=1,5,6,7,8,9(不合) 當b=3當c=1,5,6,7(不合) 當c=42×34=68再加□□=□□,填1,5,7,9(不合) 當c=82×38=76再加□□=□□,填1,4,5,9(不合) 當c=92×39=78再加□□=□□,填1,4,5,6(不合) 當b=4當c=1,5,6,7,9(不合) 當c=32×43=86再加□□=□□,填1,5,7,9(不合) 當c=82×48=96再加□□=□□,填1,3,5,7(不合) 本題恰有一解,即17×4=68再加25=93解題重點： 用窮舉法討論a的情形。 再依a=2,3,4時，就b,c之可能值進行討論。 討論完成之後得唯一解。有些同學從b或c進行討論，其過程顯得較複雜。 評析： 選答本題的同學只需具備「窮舉法」的概念，再作分段討論即可。而「分段方式」的選定影響著後續的討論過程。 本題參加徵答人數有258人，平均得分為4.83，答題最好的同學有四位，得滿分7分，此四位同學為師大附中國一莫立平，北縣中山國中國二廖元銘，永吉國中國一黃紹倫，永和國中國三黃俊斌。 問題編號 88202  任取31個相異的正整數，對它們作任意的排列。試證明：無論怎麼排列都能找到一種方法，照此方法刪除其中的25個數，剩餘的6個數在不變次序的條件下，所構成的數列不是依序增大，就是依序減小。參考解答：1.令x1,x2,…,x31為1、2、3、…、31等數字的一組任意順序的排列。設a1=x1， 由x1往後搜尋，遇到第一個比a1小的數字叫做a2，再由a2往後搜尋找到第一個比a2小的數叫做a3，……，重覆這種搜尋，直到找不到更小的數為止。設最後一個數為an，這樣由a1,a2,…,an所構成的數列命名為A數列。2.由x1,x2,…,x31中去掉A數列中的數，剩下者構成另一個數列，稱為X1。令b1為X1中的第一個數，依步驟1中的搜尋方式，又構成一數列b1,b2,…,bm，稱為B數列。3.再依步驟1、2的方式，找到C、D…等數列。4.如此可以產生兩種情形： (1)若這些數列中，有任一數列的數字個數達到6個或超過6個，那麼在X 中次序不變地留下這個數列中的6個數即為合於題意的數。 (2)若沒有一個數列的數字達到6個，則X至少可分成6個數列，設其中最 後一個數列的第一個數為a，則在a所在數列的前一數列中一定可以找到 一數b，使得ab，且b、a在X中的順序是b在a前。在b所在數 列的前一數列中亦可找到一數c，使得abc，且在X中的順序為c-b-a， ……，以這樣的方式，至少可以在X中找到6個數，使得它們在次序不 變的情況下，於刪去其餘的數後，形成一個依序增大的數列，而符合題意 之所求。