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《数学分析》试题（A卷） （考试时间120分钟） 姓名 班级 学号 题号 一 二 三 总分 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 得分 一、叙述题(每小题10分，共40分) 叙述函数在区间上有界的定义。并证明在内有界。 用方法证明。 叙述并证明积分第一中值定理。 叙述极限的归结原则。并证明不存在。 二、计算题（每小题5分，共30分） 求极限。 求极限。 设，其中为可微函数。求。 设，求。 求不定积分。 求定积分。 三、证明题（共30分） （10分）设在上连续，在内可导，且。求证：存在，使得。 （10分）证明不等式 。 （5分）设是以为周期的函数，且，求证：，。 （5分）设在上可积，且在上。求证：在上可积。 《数学分析》试题（A卷） （考试时间120分钟） 姓名 班级 学号 题号 一 二 三 总分 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 得分 一、叙述题(每小题10分，共40分) 叙述函数在区间上有界的定义。并证明在内有界。 解：在区间上有界即存在实数，对任意，总有。 下证在内有界。 显然；又因为，故。即对任意，有。 用方法证明。 证明：因为 所以对任意，取。当时，有。即 。 叙述并证明积分第一中值定理。 积分第一中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使得 。 证：由于在上连续，因此存在最大值和最小值。由 ， 使用积分不等式性质得 ， 或 在由连续函数的介值性，至少存在一点，使得 。 得证。 叙述极限的归结原则。并证明不存在。 解：归结原则：设在上有定义，则的充要条件是： 对任何含于且趋于正无穷的数列，都有。 由在上有定义，设，显然 而 。 由归结原则得不存在。 二、计算题（每小题5分，共30分） 求极限。 解： 求极限。 解： 设，其中为可微函数。求。 解： 设，求。 解： 求不定积分。 解： 求定积分。 解： 三、证明题（共30分） （10分）设在上连续，在内可导，且。求证：存在，使得。 证：由积分中值定理可知，存在，使得 ， 即 。那么在上满足罗尔定理条件，故存在，使得 。 （10分）证明不等式 。 证：令。则 ，， 那么在上为凸函数。所以对任意，有 ， 即 ， 亦即 。 （5分）设是以为周期的函数，且，求证：，。 证：对任意，，由归结原则得 ， 而，即为常数列，所以 ，。 （5分）设在上可积，且在上。求证：在上可积。 证：由在上可积，从而都有界，设 且（否则恒为零值函数，结论显然成立）。又，故。 任给，由可积，必分别存在分割，使得 。 令。对于上所属的每一个，有 所以有 也就是在上可积。 第１页 共4页