高等数学(考前要点复习_下)..docVIP

第五章 定积分的概念 教学目的与要求： 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 解广义积分的概念并会计算广义积分。 3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 5.1定积分概念 定积分的定义 不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n个小区间，记在[]上任意取一点，作和式： 在[]怎样选取，只要有I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做即I=其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=和S=表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即== 4定义中的不能用代替 5如果存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？ 经典反例：在[0，1]上不可积。 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。 定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。 6几何意义 当f(x)0时，表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则表示曲边梯形面积的代数和。 解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为，，取作和式： 所以：=e-1 7．按照定义 5．2定积分的性质积分中值定理 有定积分的定义知，是当ab时才有意义，而当a=b与ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定： =0 ab时，=- 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即 性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个） 性质3：无论a,b,c的位置如何，有 性质4：f(x)则 性质5：若f(x)g(x)则 性质6： 性质7：设在，，则 性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存 一点，使下式成立， 例1．利用定积分几何意义，求定积分值 上式表示介于, , , 之间面积 例2、（估计积分值） 证明 证： 在 上最大值为，最小值为2 ∴ ∴ 5．3定积分的计算方法 变上限积分函数的导数 设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为（）称是变上限积分的函数。 定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上可导，且导数为 证明省略 定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 注意： 1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系定理　如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 　。 　(1) 证　已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数 也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 。 (2) 在上式中令x = a，得。又由?????的定义式及上节定积分的补充规定知?????????，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的?????，可得 ， 在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对ab的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。 公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。 例1　计算定积分。 解　。 例2　计算。 解　。 例3　计算。 解　。 例4　计算正弦曲线y = sinx在[0,? ]上与x轴所围成的平面图形的面积。 解　。 例5　求 解　易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。 因此 。 5．4定积分的换元法 定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数在上严格单调，且有连续导数，（3）时， 且则有换元公式：