运用公式法进行因式分解..docVIP

运用公式法进行因式分解 　　运用公式法是因式分解的一种重要方法，学习这部分内容，要在熟记公式的基础上，正确灵活的运用这几个公式。 这几个公式的特点如下表： 公式名称 左边形式 右边形式 适用的项数 平方差公式 两个数的平方差 两数的和与这两数的差的积 两项 完全平方公式 首末两项是两数的平方?和，中间项是两数积的2倍(或相反数） 两数和或差的?完全平方 三项 立方和公式 两数的立方和 两数的和乘以?这两数平方和与他们积的差 两项 立方差公式 两数的立方差 两数的差乘以?这两数平方和与他们积的和 两项 在选用公式时，先观察所分解的多项式是几项，如果是三项考虑用完全平方公式；如果是两项，再观察这两项是平方差形式,还是立方差、立方和形式，正确选用公式。公式中的字母可以表示任意数、单项式或多项式。 下面就公式的运用看几个例题: 例1.下列因式分解正确的是（ ）。（A）x3＋64＝（x＋4）（x2－8x＋16）（B）m2－4n2＝（m+4n）（m－4n）（C）169（a－b）2－196(a＋b)?2＝－（a＋27b）（27a＋b）（D） x2＋y2＝（x＋y）2 说明：（A）运用立方和公式，第二个因式的－8x应为－4x；（B）用平方差，分解后为(m+2n)(m-2n)，注意数字也要写成平方形式；（C）用平方差公式分解为〔13（a－b）＋14（a＋b）〕〔13（a－b)； －14（a＋b）〕,合并后得到右边的结果；（D）中x2＋y2不能进行分解。答案：（C） 例2?若下列各式是完全平方式，求b.1、a2＋2a＋b?2、a＋2ab＋13、a2－2a＋b2 分析：1中的b是完全平方式的第三项，由第二项得到b=1;2中的b在完全平方式的第二项，第二项应是两个底数乘积的2倍或相反数，所以b为1或－1；3中b2应为1，所以b＝± 1 答案：1.b＝1；2.b＝± 1;3. b＝± 1。 例3?分解下列各式. 1.25x2－40xy＋16y2；?2.1－64a2；?3.1－64a3. 解：1)原式＝（5x－4y）2；2)原式＝（1＋8a）（1－8a）;3)原式＝（1－4a）（1＋4a＋16a2）. 说明：在选择公式时，观察所给多项式是几项，如1)是三项考虑用完全平方公式，2)、3)是两项考虑用平方差或立方差、立方和公式，再观察得到2)是平方差形式，3)是立方差形式，即可代入到相应的公式中。 例4?把下列各式进行因式分解.（x2＋y2）2－4x2y2；?（a＋b）（a2－ab＋b2）－b3－1；?（m－2）（m2－4m＋4）＋1；8a3（x3－y6）＋b3（y6－x3）。 解：1)原式＝（x2＋y2＋2xy）（x2＋y2-2xy）=（x＋y）2（x－y）2；2)原式＝a3＋b3－b3－1＝a3－1＝（a－1）（a2＋a＋1）；3)原式＝（m－2）（m－2）2＋1＝（m－2）3＋1＝（m－2＋1）〔（m－2）2－（m－2）＋1〕＝（m－1）（m2－4m＋4－m＋2＋1）＝（m－1）（m2－5m＋7）4) 原式＝8a3（x3－y6）－b3（x3－y6）＝（x3－y6）（8a3－b3）＝（x－y2）（x2＋xy2＋y4）（2a－b）（4a2＋2ab＋b2） 说明：这几个例题中都有括号，1)、4)是把括号中的多项式看成一个整体；2)是把括号打开；3)是把括号中的多项式进行因式分解。在有括号的情况下，要具体问题具体分析，正确进行因式分解。 注意：因式分解最后要分解到不能再分为止。 例5.把下列各式进行因式分解.a?6-b?6?x－xy3?x3（x－2）－8x＋16?解：1)原式＝（a?3-b?3）（a3＋b3）＝（a?-b?）（a?＋b?）（a?2＋ab＋b?2）（a?2－ab＋b?2） 说明：在既能用平方差公式又能用立方差公式时，先考虑平方差公式。2)原式＝x（1－y3）=x（1－y）（1＋y＋y2） 说明：考虑因式分解时，先考虑提公因式法，再考虑运用公式法。 3)原式＝x3（x－2）－8（x－2）＝（x－2）（x3－8）＝（x－2）（x－2）（x2＋2x＋4）＝（x－2）2（x2＋2x＋4）―说明:此题经过观察可以看出后两项可提出－8，从而得到公因式（x－2）。 注意：应将因式分解最后结果中的相同因式写成幂的形式。 例6.?已知a＋b＝2，ab＝－2，求下列各式的值.（1）（a－b）2； （2）a3b－2a2b2＋ab3；解:（1）（a－b）2＝（a＋b）2－4ab　　　当a＋b＝2，ab＝－2时原式＝22－2（－4）＝4＋8＝12.（2）a3b－2a2b2＋ab3＝ab（a2－2ab＋b2）＝ab（a＋b）2当a＋b＝2，ab＝－2时原式＝－2×22＝－8. 说明：