D6_2几何应用讲解.ppt

思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 旋转而成的环体体积 V 作业 P286-289 2 (1) , (3) ; 3; 5 (3) ; 8 (2) ; 9; 22; 25; 30 面积及弧长部分： 体积部分： P287 13; 15 (1) ; 18 第三节 运行时, 点击按钮“心形线”, 可演示心形线的生成, 并自动返回. 典型P282 例1.24 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回. (L.P198 例14) 目录 上页 下页 返回 结束 四、 旋转体的侧面积 (补充) 三、已知平行截面面积函数的 立体体积 第二节 一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章 一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 例2. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 例4. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 对应 ? 从 0 变 例5. 计算阿基米德螺线 解: 到 2? 所围图形面积 . 心形线 例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) 则称 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : 例8. 求连续曲线段 解: 的弧长. 例9. 计算摆线 一拱 的弧长 . 解: 例10 求阿基米德螺线 相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解: 三、已知平行截面面积函数的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 例11. 计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 例12. 计算摆线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 绕 y 轴旋转而成的体积可以看成是OABC与OBC分别绕y轴旋转而成，为 注意上下限 ! 注 注 注 分部积分 (利用“偶倍奇零”) 例13. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积 旋转体的体