D5定积分习题课讲解.pptVIP

第五章 定积分习题课 1．定积分的定义： 2．定积分的几何意义： 用图表示: 一、定积分的概念与性质 曲边梯形的面积 (2)近似: ;(3)求和;(4)取极限 定积分定义的四要素：(1)分割: ; 3．可积的充分条件 ① 若 在区间 上连续，则 在 上可积. ② 若 在区间 上有界，且只有限个间断点， 则 在 上可积. 4．定积分的性质 ①反号性： ②与积分变量无关性： ③线性性质： ④区间可加性: ⑤区间长： ⑥保号性：如果在区间 上, ，则 ⑦单调性：如果在区间 上, 则 ⑧估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值，则 ⑩奇偶对称性：若 在 上连续，则 是奇函数 是偶函数 0， ⑨定积分中值定理：如果函数 在闭区间 上连续, 则至少存在一点 ,使下式成立： 周期函数性质： 三角函数性质： 二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式 1．积分上限函数： 设函数 在区间 上连续，则称 (定积分与积分变量记法无关) (1) (2) (3) 2．积分上限函数的微分 3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数 为连续函数 在区间 上的一个原函数，则 三、定积分的计算方法 求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数 ,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即 2．分部积分法： （2）变量置换法：函数 满足条件： 1．换元积分法 （1）凑微分法： 五、典型例题 【例1】利用定积分几何意义求定积分： 【例2】设 ，问 取何值时，积分 取得最大值？ 【例3】估计积分值： 【例3】设 , 求 解: 【例4】设 求 分析：利用变量代换将 在 上的定积分 化为 在 上的定积分再计算。 解:设 ,则 【例6】设 ,求 解: 由 , 得 则 所以 【例7】求定积分 解:设 ,则 【例8】计算定积分 解: 令 则 当 时, 当 时, 【例9】计算定积分 解: 【例10】求定积分 分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性． 解: 原式 【例11】设 求 解：因为 所以 【例13】求极限 解: 易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证是不是未定式，若不是，不能应用罗比塔法则。如 分析：极限为 型未定式，应用罗比塔法则。 【例16】设 分析：求分段函数的变上限积分的题型，其解法是：按与被 积函数相同的分段依次讨论，计算中使用定积分的可加性。 所以，应分段求 的表达式． 当 时， 求 在 内的表达式． 解：在 的定义域 中， 是分段函数， 当 时， 当 时， 于是