ch7非线性方程的解法讲解.ppt

* * * * k xk yk zk 0 1 2 3 4 5 1.5 1.41629 1.35565 1.32985 1.32480 1.32472 2.37500 1.84092 1.49140 1.34710 1.32518 12.3965 5.23888 2.31728 1.44435 1.32714 说明: (2.2)不收敛,(3.3)可能收敛; (2.2)线性收敛,(3.3)平方收敛! k xk yk zk 0 1 2 3.5 3.73444 3.73307 3.60414 3.73381 3.66202 3.73347 7.4 牛顿迭代法 一、牛顿法及其收敛性 Newton迭代法至少平方收敛。 因而，Newton法又称为切线法。 Newton迭代法至少平方收敛。 P212 定理7.5 * 例5. 用Newton迭代法求方程的根: 解: 由Newton迭代法 x0 =0.5; x1 =0.3333333333 x2 =0.3472222222 x3 =0.3472963532 x4 =0.3472963553 迭代四次 精度达10-8 * Newton迭代法 需要求每个迭代点处的导数 复杂！ --------(12) --------(13) 这种格式称为简化Newton迭代法 精度稍低 7.4.2 Newton迭代法的改进 复杂 * --------(15) 这种方法称为Newton下山法， * Newton下山法的计算步骤: 继续迭代 选初值x0 ,0 ?k (ε, ε1, ελ为事先指定的精度) 1?λ 计算xk -λf(xk )/f ‘(xk ) ? xk+1 若| f(xk+1 )|| f(xk)|, 判别|xk+1 - xk|ε, 若成立,xk+1 ? x*,终止计算. 若不成立, k+1?k,转2. 若| f(xk+1 )|≥| f(xk )|,判别 (λ ελ,,及| f(xk+1 )|ε1 ), 若同时成立, λ/2?λ,转3. 若不同时成立,则当λ ≤ελ ,且| f(xk+1 )| ε1 时, xk+1 ? x*,终止计算,否则转1. 缩小下山因子λ 继续迭代 重选初值x0 继续迭代 * Newton迭代法变为 --------(14) 这种格式称为弦截法 收敛阶约为1.618 几何意义 弦截法： * 例6. 用简化Newton法和弦截法解例(5)中方程的根， 解: 由简化Newton法 并和Newton 迭代法比较 由弦截法 Newtonddf.m * x0=0.5 x1= 0.3333333333 x2 = 0.3497942387 x3 = 0.3468683325 x4 = 0.3473702799 x5 = 0.3472836048 x6 = 0.3472985550 x7 = 0.3472959759 x8 = 0.3472964208 x9 = 0.3472963440 x10 = 0.3472963572 x11 = 0.3472963553 x0=0.5; x1=0.4; x2 = 0.3430962343 x3 = 0.3473897274 x4 = 0.3472965093 x5 = 0.3472963553 x6 = 0.3472963553 简化Newton法 由弦截法 要达到精度10-8 简化Newton法迭代11次 弦截法迭代5次 Newton迭代法迭代4次 * 无论前面哪种迭代法： Newton迭代法 简化Newton法 弦截法 Newton迭代法 x0 = 2 x1 = -3.54 x2 = 13.95 x3 = -279.34 x4 = 122017 是否收敛均与初值的位置有关 如 x0 =1 x1 = -0.5708 x2 = 0.1169 x3 = -0.0011 x4 = 7.9631e-010 x5 = 0 收敛 发散 * 说明: Newton下山法放宽了对初值x0的要求,它可以解决Newton迭代法不收敛的情况 . 但只有线性收敛速度. * 例7. 解: 1.先用Newton迭代法 x4 = 9.70724 x5 = 6.54091 x6 = 4.46497 x7 = 3.13384 x8 = 2.32607 x9 = 1.90230 x10= 1.75248 x11= 1.73240 x12= 1.73205 x13= 1.73205 迭代13 次才达 到精度 要求 * 2.用Newton下山法,