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大学物理第三章 刚体力学基础 * 第三章 刚体力学基础 * §3-1 概述 一、刚体 1、刚体的平动 在力的作用下，大小和形状都保持不变的物体称为刚体 二、刚体运动学 A A1 A2 B B1 B2 C D D1 D2 C1 C2 刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线，都始终保持和自身平行，这种运动就称为刚体的平动。 刚体平动，刚体上各点的运动轨迹都相同，且在任意瞬时各点的速度、加速度也都相同。刚体作平动，刚体可视为质点。 对刚体平动的研究可归结为对质点运动的研究。通常都是用刚体的质心运动来代表作平动刚体的运动。 2、刚体定轴转动 刚体运动时，若刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为刚体的转动，这一直线称为转轴 。 转动刚体的转轴相对参照系是固定不动的，就称为这种刚体的转动为刚体定轴转动。 刚体定轴转动的描述方法 转动刚体上的质点元都作圆周运动，任意质点元作圆周运动的角量与线量的关系均满足： 定轴转动刚体内各点的速度和加速度 三、角速度矢量 §3-2 力矩 转动定律 一、力矩 刚体绕z轴（定轴）转动，某时刻角速度为ω、角加速度为β。对质量元Δmk 二、转动定律 切向分量： 再将上式两边乘以 ，并对整个刚体求和，则有 称为刚体对z轴的转动惯量，则 令： 刚体定轴转动的转动定律 刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。 （1）J 和M 须是对同一转动定轴而言. 说明： （2）仅适用于定轴刚体（J 不变）。 （3）类似于牛顿第二定律，转动定律给出的是力矩瞬时作用规律。 三、转动惯量 刚体对某轴的转动惯量，等于刚体上各质点的质量与该质点到该轴距离平方的乘积之和，即 质量连续分布的刚体的转动惯量 1、转动惯量的定义 转动惯量三要素：刚体总质量、转轴、质量分布 2、转动惯量的计算 质点系的转动惯量 单个质点的转动惯量 质量连续分布的刚体的转动惯量 质量为线分布（?为线密度） 质量为面分布（ ?为面密度） 质量为体分布（?为体密度） 注意 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。 [例5-2]求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 解：取如图坐标，dm=?dx A B L X A B L/2 L/2 C X 图 转动惯量 转轴 刚体 均质圆环 （质量为m，半径为R） 通过圆环中心与环面垂直 均质圆盘 （质量为m，半径为R） 均质圆柱体 （质量为m，半径为R） 均质细杆 （质量为m，长为L） 均质球体 （质量为m，半径为R） 均质球壳 （质量为m，半径为R） 沿几何轴 通过中心与杆垂直 沿直径 沿直径 通过圆盘中心与盘面垂直 3、关于转动惯量计算的三个定理 平行轴定理 刚体对任何一轴的转动惯量与对通过其质心的平行轴的转动惯量之间有如下关系： 转动惯量的迭加原理 薄板的垂直轴定理 薄板状物体对板面内两互相垂直轴的转动惯量之和，等于该物体对通过该两轴之交点且垂直于板面的轴的转动惯量 由几部分物体组成的整体对轴的转动惯量，等于其各部分物体对同一轴的转动惯量之和。 四、转动定律应用 [例5-3] 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为 和 的物体( )，如图所示。设滑轮的质量为 ，半径为r，其转动惯量可按计 算（滑轮视为圆盘）。绳与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。 [解] 解得： [例]质量为 和 的两个物体分别悬于绕在组合轮（由固定在一起的两同轴圆柱体组成）上的轻绳上，如图所示。设两轮的半径分别为R和r，转动惯量分别为 和 。轮与轴间摩擦略去不计，绳与轮间无相对滑动。试求两物体的加速度和绳的张力。 m1 m2 O r R 解： 解得： §3-3刚体定轴转动的动能定理 、定轴转动刚体的动能 二、力矩的功 [例5-4]一长为l 、质量为m的均质细杆，绕通过A端的Z轴在铅垂平面内转动，如图。现将杆从水平位置释放，试求杆转到铅垂位置的过程中，杆的重力所作的功。 解： 细杆仅受重力矩作用，细杆对A轴的力矩为： 三、刚体定轴转动的动能定理 说明： （1）式中W指的是合外力矩所作的功； （2）适用条件： 定轴转动 刚体（J不变） （3）应用： ——已知合外力矩，如何利用方程求ω？ [例]均匀细杆长为l，质量为m，下端无摩擦地铰接在水平面上的O点,如图所示。求当杆受到微扰从竖直位置倾倒至与水平面成θ角时，细杆转动的角加速度和角速度。 O A 解：细杆受重力矩作用。对O轴的重力矩为： O A 由转动定律