(量纲分析法.docVIP

第三节 量纲分析法 量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。 3.1 量纲齐次原则与Pi定理 许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。例如在动力学中，把长度, 质量和时间的量纲作为基本量纲，记为 ; 而速度的量纲可表示为. 在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L、M、T、I、、J、和N；称为基本量纲。任一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积， 量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。 量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。 例3—1： 单摆运动，质量为的小球系在长度为的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期的表达式。 解：在这个问题中有关的物理量有设它们之间有关系式 　　　　　　　　　　　　　　 ---------------（3.1） 其中为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有 整理得：　 --------------（3.2） 由量纲齐次原则应有　 　　　　 　 ---------------（3.3） 解得： 代入（3．1）得 -------（3.4） （3.4）式与单摆的周期公式是一致的 下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi定理， 定理：设n个物理量之间存在一个函数关系 　　 --------------（3.5） 为基本量纲，。的量纲可表示为　　　　 矩阵称为量纲距阵，若则（3.5）式与下式等价， 其中F为一个未定的函数关系，为无量纲量，且可表示为 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　-----------(3.6) 而为线性齐次方程组的基本解向量. 利用Pi定理建模，关键是确定与该问题相关的几个基本量纲的无量纲量, 作为量纲分析法的应用，下面我们介绍航船阻力的建模. 3．2 航船的阻力， 长吃水深度的船以速度航行，若不考虑风的影响，航船受到的阻力除依赖于船的诸变量以外，还与水的参数——密度P，粘性系数, 以及重力加速度g有关。 我们利用pi定理分析f和上述物理之间的关系 1． 航船问题中涉及的物理量及其量纲为 我们要寻求的关系式为 ---------------（3.7） 这些物理量中涉及到的基本量纲为L、M、T 2． 写出量纲距阵 3． 解齐次线性方程组 , 可得 个基本解向量 由（3.6）式，可给出4个无量量纲 -------------------（3.8） 由Pi 定理，（3.7）等价于下列方程 -------------------（3.9） 这里是未定的函数 由（3.８）,（３.９）可得阻力f的显式表达式， ------------------（3.10） 其中是由（３.９）可得到的未知的函数关系,在力学上, 称为Froude数，记为Fr ;称为Reynold数，记为Re , 因此（3.10）又可写为 ------------------（3.11） 下面我们利用物理模拟进一步确定航船在水中的阻力。 设:分别表示模型和原型中的各物理量, 由(3.11)有 当无量纲量 -------------------（3.12） 成立时 , 可得 --------------------（3.13） 则此时由模型船的阻力，及其它的；可确定原型船的阻力. 下面,我们讨论一下(3.12)成立的条件,如果在实验中采用跟实际同样的水质,则 又 故可得 ： --------------------------