计算方法9.3.ppt

9.3 误差估计与稳定性 * * 常微分方程初值问题的求解，是将微分方程转化为差分方程来求解，并用数值解yi来近似替代精确解y(xi)，这种近似替代是否合理，还与分割区间[xi-1,xi]的长度有关，当步长h越来越小，即h=xi-xi-1→0时，判断yi→y(xi)是否成立。若成立，则称该数值方法是收敛的，否则称为不收敛的。 * * 在推导欧拉公式或梯形公式时，利用数值微分代替导数项，得到差分方程。 称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累 一、误差与收敛性 　　　 若某数值方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称这种数值方法的阶数是p ，或称该数值方法具有p 阶精度。 　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，用某种数值方法计算yi+1，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为该数值方法计算yi+1的局部截断误差。 * * 定义9.1 定义9.2 讨论常微分方程的数值解法的误差，主要分析求解公式局部截断误差和整体截断误差，并引入阶数的概念。 步长(h1) 越小,p越高, 则局部截断误差越小,计算精度越高。 * * 1. 欧拉公式的局部截断误差 设f(x,y)充分光滑,将y(xi+1)在xi点作Taylor展开: 欧拉法具有 1 阶精度。 * * 2. 梯形公式的局部截断误差 采用梯形公式求积分项 时，根据梯形公式的误差可得到 由梯形公式可知 * * 比较两式得 梯形法具有 2 阶精度。 * * 3. 欧拉预估-校正方法的局部截断误差 欧拉预估-校正公式的第二式 * * 按局部截断误差定义，假设yi = y(xi)前提下， * * 欧拉预估-校正法与梯形法一样，具有 2 阶精度。 * * 　　　 设y(xn)是常微分方程初值问题的精确解，在不考虑舍入误差的情况下考虑每一步局部截断误差的影响，yn+1表示用某种数值方法算出的数值解，二者的误差 εn+1 = y(xn+1) ? yn+1 称为该数值方法计算yn+1的整体截断误差。 定义9.3 根据微分方程理论，为了使微分方程的解存在唯一性，一般要加限制条件在f(x,y)上，要求f (x,y)对y满足Lipschitz条件： 对任意x,y1 ,y2 ，存在正常数L0，有 4. 局部误差的传播和积累 * * 记为 得到εn+1 与εn 的关系 局部截断误差界 * * 同理，可推出εn 与εn-1 , εn-1 与εn-2，…的关系，代入上式 等比数列求和 * * 对于z 0，有 ① ② 因此，欧拉法的总体截断误差由两部分组成：初始误差ε0和局部截断误差界h2M2/2决定： 当初始值精确，即ε0＝0时，|εn+1|=O(h)，整体截断误差与h同阶，比局部截断误差O(h2)低一阶。所以当h→0时，数值解yn+1收敛到准确解 y(xn+1)，欧拉法是收敛的。 * * 对其他单步法，也可推导得出类似结论(同学可自己论证) 例3 对初值问题 证明用梯形公式求得的近似解为 并证明当步长h?0时,yn收敛于精确解 ∵ ∴ 证明: 解初值问题的梯形公式为 * * 整理成显式 反复迭代,得到 ∵ ∴ * * 由x=nh，有 ∴ 得证 * * * * 二、稳定性分析 稳定性在微分方程的数值解法中是一个非常重要的问题。因为微分方程初值问题的数值方法是用差分格式进行计算的，而在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误差等引起的扰动，在传播过程中，可能会大量积累，对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法稳定性问题。 用某一种数值方法求解常微分方程，若步长h固定，当在某节点上xi的yi值有大小为δ的扰动时，如果在其后的各节点xj（ji）上的值yj产生的偏差都不大于δ，则称这种方法是稳定的。 稳定性不仅与算法有关，而且与方程中函数f(x,y)也有关，讨论起来比较复杂。为简单起见，通常将满足Lipschitz条件的微分方程模型化，讨论模型方程的稳定性 * * 常数，保证微分方程的稳定性 一般方程若局部线性化，也可化为上述形式。模型方程相对比较简单，若一个数值方法对模型方程是稳定的，并不能保证该方法对任何方程都稳定，但若某方法对模型方程都不稳定，也就很难用于其他方程的求解。 * * 先考察显式Euler方法的稳定性。对模型方程 应用Euler法得到 * * 1. 欧拉方法的稳定性 * * 两式相减，得到 即扰动值也满足差分方程。为使yi有界，则要保证扰动值在之后的计