线性代数》练习题..doc

一、填空题 1. 设3阶矩阵的行列式，则行列式 　。 2．，则 。 3．的一个特征值为，则行列式 。 4．行列式 12 　。 5．若方阵满足，则有特征值 。 6. 若，则______5____。 7．只有零解，则应满足 λ≠1 。 8．，满足，则与分别是 阶矩阵。 9．矩阵的行向量组线性 。 10．阶方阵满足，则 。 二、判断题（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。） 1. 若，则或。（ ） 2. 设是阶矩阵，则齐次线性方程组有非零解。（ ） 3. 阶矩阵有个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵。（ ） 4. 维向量组线性无关的充要条件是中的任意两个向量均线性无关。（ ） 5. 已知行列式，则。 ( √ ) 6. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ） 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 8. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ ） 9. ，则。（ ） 10. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。) 1. 设非齐次线性方程组的系数行列式，则( 　) 有无穷多解 (B)有唯一解 (C)若有解，则必有无穷多解 (D)无解 2. 设为阶矩阵，且与相似，则( 　) (B) 与有相同的特征值和特征向量 (C) (D) 均有个线性无关的特征向量 3. 下列命题正确的是( 　)线性相关，且，则必不全为零 (B) 如果两个向量组等价，则它们所含的向量个数相等 (C) 若向量不可由向量组线性表示，则向量组 线性无关 (D) 若中任一向量均可由向量组线性表示，则是的基底 4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若，均可逆，则可逆 ② 若，均可逆，则 可逆 ③ 若可逆，则 可逆 ④ 若可逆，则 ，均可逆 5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量 6. 设为阶矩阵，且，则（ ）。 ① ② ③ ④ 4 7. 维向量组 （3 ￡ s ￡ n）线性无关的充要条件是（ ）。 ① 中任意两个向量都线性无关 ② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ 中不含零向量 8. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意个维向量线性相关 ② 任意个维向量线性无关 ③ 任意个 维向量线性相关 ④ 任意个 维向量线性无关 9. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若，均可逆，则可逆 ② 若，均可逆，则 可逆 ③ 若可逆，则 可逆 ④ 若可逆，则 ，均可逆 10. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量 四、计算题 1. 设，，满足，求矩阵。 2. 试问为何值时，线性方程组　有解？并在有解时求其通解。 3. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 4. 计算行列式。 5. 设，且 求。 6. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。 7. 设，求的特征值及对应的特征向量。 五、证明题 证明题1： 设阶矩阵满足，为阶单位矩阵，证明： 1、若，则不可逆； 2、若，则可逆，且。 证明题2： (2) 若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。