4.1线性连续系统的能控性讲解.ppt

模态判据(6/14)—例4-3 解 由定理4-2可知,A为特征值互异的对角线矩阵,且B中各行不全为零,故系统状态完全能控。 例4-3 试判断如下系统的状态能控性。 模态判据(7/14) 解 A的每个特征值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故状态x1和x2不能控,则系统状态不完全能控。 状态空间x1-x2-x3不完全能控 状态子空间x1-x2不完全能控 状态变量x3完全能控 状态变量x2完全不能控 状态变量x1完全不能控 模态判据(8/14) 解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关, 且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零,故系统状态完全能控。 模态判据(9/14) 解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关,故该系统的状态x1,x2和x4不完全能控,则系统状态不完全能控。 状态空间x1-x2-x3-x4不完全能控 状态子空间x1-x2-x4不完全能控 状态变量x3完全能控 ? 模态判据(10/14)—推论4-1 由定理4-2的结论(2)以及例4-6的(4)可知,对单输入系统的状态能控性,有如下推论。 推论4-1 若单输入线性定常连续系统?(A,B)的约旦规范形的系统矩阵为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则该系统状态不完全能控。 定理4-2所给出的状态能控性的模态判据在应用时需将一般的状态空间模型变换成约旦规范形,属于一种间接方法。 下面我们给出另一种形式的状态能控性模态判据, 称为PBH秩判据。 该判据属于一种直接法。 模态判据(11/14) 定理4-3 线性定常连续系统?(A,B)状态完全能控的充必条件为:对于所有的复数?,下式成立: rank[?I-A B]=n 该定理的证明可由定理4-2直接得到。 对于所有的?,直接检验定理4-3的条件较困难。 可以证明,定理4-3的条件对于所有的?成立等价于其对A的所有特征值成立。 因此,应用定理4-3时,只需将A的所有特征值代入定理4-3的条件,检验其成立与否即可。 模态判据(12/14)--例4-6 解 由方程|?I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。 对特征值?1=1,有 例4-6 试判断如下系统的状态能控性。 模态判据(13/14) 对特征值?2=2,有 对特征值?3=3,有 由定理4-3可知,因为对应于特征值3,定理4-3的条件不成立,故该系统状态不完全能控。 模态判据(14/14) 能控性判据小结 判定方法 特点 判据 矩阵指数函数判据 代数判据 模态判据1 模态判据2 矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立 能控性矩阵Qc=[B AB … An-1B]满秩 约旦标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关 对于所有特征值? , rank[?I-A B]=n 需要求矩阵指数函数并判定函数相关,计算复杂 计算简便可行。 缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控 易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控。 缺点为需变换成约旦标准形 易于分析哪些特征值(极点)能控。 缺点为需求系统的特征值 清楚了吗? 线性定常连续系统的输出能控性(1/5) 4.1.4 线性定常连续系统的输出能控性 在控制系统分析和设计中,系统的被控制量往往不是系统的状态变量,而是系统的输出变量。 因此,有必要研究系统的输出能否控制的问题。 经典控制理论讨论的为SISO系统输入输出的分析和综合问题,其输入输出间动态关系可以唯一地由传递函数所确定。 因此,对给定的期望输出响应,输入则唯一地确定,不存在输出能否控制的问题。 但对于MIMO系统,由于输入向量和输出向量是多维的,因此,存在r维的输入能否控制m维的输出的能控性问题。 线性定常连续系统的输出能控性(2/5)—输出能控性定义 定义4-2 若线性定常连续系统?(A,B,C,D), 对初始时刻t0(t0?T,T为系统的时间定义域)和任意初始输出值y(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1?T),可以找到一个输入控制向量u(t), 能在有限时间[t0,t1]内把系统从初始输出y(t0)控制到原点,即y(t1)=0, 则称系统输出完全能控,简称为系统输出能控。 即,若数学逻辑关系式 ?y(t0) ?t1?T ?u(t) (t1t0)?(t?[t0,t1])?(y(t1)=0) 为真,则称系统输出完全能控。 线性定常连续系统的输出能控性(3/5)—输出能控性定理 若系统存在某个初始输出值y(t0)不满足上述条件,则称此系统是输出不完全能控的,简称为输出不能控。 定理4-4 线性定常连续系统?(A,B,C,D)输