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2007年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）当→时，与等价的无穷小量是 (A)　　. 　　 (B) 　 (C) . (D) . 【分析】 ～　　 　　　　～　　 　　　　～　　 因此选（Ｂ） （２）设函数在x=0处连续，下列命题错误的是 若存在，则 若存在，则 若存在，则存在 若存在，则存在. 【分析】 设，则 存在，但不存在 因此（D）是错误的。选（D）。 （3）如图,连续函数在区间[－3, －2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周。设，则下列结论正确的是 （A） (B) (C) (D) 【分析】注意，大、小半圆的面积分别为与。 按定积分的几何意义知，当时，当时。 因为为奇函数为偶函数。 因此 选（C） （４）设函数连续,则二次积分等于 (A)　 (B) (C) . (D) 【分析】 这是交换积分顺序的问题。先将二次积分表成 由累次积分限确定区域D如图所示。 记的反函数是，则改换积分顺序得 由此知（C），（D）不正确 现在的关键是求出的反函数： 因此. 选（B） 设某商品的需求函数，其中Q，p分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 (A) 1０. 　　　 (B) 20.　　　 (C) 30. (D) 40. 【分析】 按需求弹性的定义可得 令 即=1可解出.故选(D) （6）曲线渐进线的条数为 (A) ０. 　　　 (B) １.　　　 (C) ２. (D) ３. 【分析】 只有间断点．由于 故为垂直渐进线. 又 故时有水平渐进线 又 故时有渐进线 因此选(D). （7）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 　　　　 (B) 　(C) . 　 (D) . 【分析】因为 所以向量组线性相关，故选（Ａ）． ， 　　至于（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）的线性相关性可以用的方法来处理。例如 由于，故知线性相关。 （8）设矩阵则Ａ与Ｂ (A) 合同，且相似　　　　　　　　 　(B)　　合同但不相似 (C)　不和同，但相似. 　　　　　　(D)　既不合同，也不相似 【分析】 根据迹相等是两矩阵相似的必要条件，易见Ａ和Ｂ肯定不相似。由此可以排除（Ａ）与（Ｃ）。 而合同的充分有相同的正、负惯性指数。为此可以用特征值来加以判断。由 ， 矩阵Ａ的特征值为３，3，0。故二次型的正惯性指数，负惯性指数，而二次型的正惯性指数也为，负惯性指数，所以A、B合同。故应选（B）。 （9）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p（，则此人第４次射击恰好第２次命中的概率为 (A) 　　　　　　　　　　　　　 (B) (C) . 　　　　　　　　　　　 (D) . 【分析】 设事件A=“第4次射击恰好第2次命中目标”，则A表示共射击4次，其中前3次只有1次击中目标，且4次击中目标，因此 应选（C）。 （10）设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y的条件下，Ｘ的条件概率密度为 (A) 　 　　 　 (B) 　　　　　 (C) . 　　 (D). 【分析】 由于服从二维正态分布，因此从Ｘ与Ｙ不相关可知Ｘ与Ｙ相互独立，于是有 应选（A） 若仔细分析，由于X与Y不相关，即，因此的联合密度为 而X，Y的边缘密度分别为 ， 。 也可知选（A） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （11） 【分析】 注意且由洛必达法则知 于是即 . 又因利用无穷小量有有界变量的乘积是无穷小量可得 （12）设函数，则 【分析】 用归纳法求解. 易归纳证得 因此 （13）设是二元可微函数,,则 【分