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理论力学课程小论文狗追兔子问题2011011576 力1 陈梓钧目标：1找到简化条件，使得狗的轨迹方程有解析解； 2 寻找在简化条件下，狗一定能抓住兔子的“抓获区域”； 3 研究当狗在“抓获区域”内时，兔子的规避动作； 4 讨论狗有提前量的条件下，问题能否求解，并寻找最佳提前量。在简化模型下寻找狗轨迹方程的解析解简化假设：以兔子的起点为原点，兔子与窝的连线为y轴建立坐标系，窝的位置为（0,1）。兔子与狗均全速奔跑，速度分别为a与b，ab。兔子奔跑方向始终沿直线（y轴），狗的速度始终指向兔子。为狗满足的微分积分方程组化简得两边求导得（3）通过变量代换，解此微分方程，可得 (4)(5)其中（x0,y0）为狗的起始位置。求解的步骤在附页中。实例：令（x0,y0）=（1,0）用MATLAB的ode45命令，得到曲线如图1。其中绿色线为ode45所解出的数值解，蓝色线为（4）得到的解析解。分别令a/b=1/3(红),1/2(绿),1/1.5(蓝)得到图2令（x0,y0）=(1,1)，(0,1.5)，(-0.3,0.7)，a/b=1/2可得如图3所示各曲线。图3寻找一定能抓住兔子的范围在（一）的假设下考虑。临界情况为狗在洞口抓住兔子，所以不妨反向考虑，设兔子和狗从洞口夹θ角同时出发，仍满足速度约束条件。方程组变为：同样可以解出： ( 8 )刚出发时x=0：=故θ=0，狗一定沿y轴抓住兔子。将（7）更换为等价条件：( 9 )由于设, 结合(9)可得：两边对t积分得令t=0,x=0,y=1,可得c=化简得（具体步骤见附页）： (10)这是一个随时间反演不断扩大的椭圆，中心是洞，兔子在椭圆焦点出发，狗若在椭圆内，则可以追上兔子。如图4所示。图5图4进一步讨论：当狗位于“捕获区间”内，如果兔子跑折线，能否逃脱追捕？根据MATLAB的数值模拟结果，在某些情况下的确可以逃脱追捕。不妨作进一步简化，假设兔子只能在途中折转一次，折转不需要时间。如图5，随着兔子跑动，临界椭圆一边偏转，一边收缩，可能可以让狗离开椭圆内部。临界情况如图6，由于轨迹方程已知，狗的坐标x(t),y(t)已知，而动椭圆方程也是关于t的单值函数。参数方程具体的解法见附页。（a=1，b=2）作坐标变换=其中为椭圆的转角,可以把斜椭圆化为x-y平面上的椭圆联立消去x,y后得到的是关于t的方程，当系数条件满足有图6实根时可得t00。于是，只要兔子在此处折转朝向洞口跑，即可逃脱（但并不是最安全的方案）。由此确定了折转点由有唯一实根时所满足的系数条件，可得到一个关于c1,c2和初始偏转角Ψ的方程H(c1,c2，Ψ)=0，再令此方程关于Ψ有唯一解，可得另一个仅关于c1,c2的方程。由于c1,c2是初始条件X0,y0的函数，可得到狗的临界区间。这是解析解。以上过程称为第一次迭代。图7用FORTRAN计算得如图7中内部边界（似乎是个8边形），意义为：在该边界内，即便兔子折转1次，也不能逃脱追捕；而在两边界之间，不折转就必被追上，若折转1次则可能逃脱追捕。如图8，在u-v系内，在上面折转一次也必被抓住的情况下，狗必然落在椭圆内（以下称椭圆为C0, 零级边界；依次可定义C1，一级边界）。如此，在倾转角度后，图形的形态和第一次迭代完全相同。写出u-v坐标系下的狗的轨迹参数方程和，联立之，解出t1，可以得到第二转折点。用坐标逆变换可以返回以上过程称为第二次迭代。注意到第1、2次迭代的方程已经不是二次方程，故不能用判别式确定临界区间的边界。FORTRAN中用蒙特卡洛法粗略确定边界如上图所示，具体程序代码见附件。在上述两步中，理论上已经可以确定了两个转折点的坐标。如果图8中狗还落在边界C1内，那么兔子即便转折2次也不能逃脱追捕。继续以上迭代过程，得到 (n=1,2,3….)和逃脱边界Cn，如图9。这个函数列不能收敛于线段。首先，曲线必然包括兔子和兔子洞在内，所以若收敛，则必收敛于线段，那么狗在全平面上任何一点都不可追上兔子，这和实际情况矛盾。图9=c(t)如果该极限存在，则可确定一个区域，在此区域外，兔子一定能通过跑某种模式的折线逃脱追捕。（由于以上条件都不是最优解，在区域内未必不能逃脱追捕）图8讨论狗有提前量的情况，并找到在兔子跑直线的情况下狗的最佳提前量（1）提前量为常角度，微分方程改写为：令 -y’(x)=tan(ψ(x))，化简得变量分离方程因为左边积分难于求出，故只能用数值方法模拟轨迹。如图11，红线是没有提前量时狗的追击轨迹，蓝线为提前6度的追击轨迹，绿线为提前15度的追击轨迹，黄线为提前30度时的追击轨迹，浅蓝色的为45度的追击轨迹。可见当兔子跑直线时有提前量未必能带来好处，且可列出狗追上兔子的时间顺序（以x=0为判据）：在兔子洞与兔子的间距为1，狗在（1,0）