§2-6 静电场边值问题与求解方法[精选].ppt

* §2.6 静电场的边值问题与求解方法 2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程 推导电位微分方程的基本出发点是静电场的基本方程： 泊松方程 注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。 拉普拉斯方程 ——拉普拉斯算子 求解边值问题注意事项： 1．根据求解场域内是否有 ? 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有限分布时，应有： 即：? 至少按一次方反比变化，通常可简单取 例2.4.1 列出求解区域的微分方程 2.6.2 静电场的边值问题 图2.6.1 三个不同媒质区域的静电场 第二类 边界条件 第一类 边界条件 第三类 边界条件 自然 边界条件 分界面 衔接条件 场域 边界条件 图2.6.2 边值问题框图 为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的？ 电位微分方程 边界条件 边值问题 边值问题 研究方法 实测法 定性 定量 积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法 数学模拟法 物理模拟法 图2.6.3 边值问题研究方法框图 计算法 实验法 作图法 模拟法 数值法 解析法 边界条件 积分得通解 例2.6.1 设有电荷均匀分布在半径为a 的介质球型区域中，电荷体密度为? ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。 解: 采用球坐标系,分区域建立方程 参考点电位 图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场 解得 电场强度（球坐标梯度公式）： 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。 电位： 例2.6.3 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为? ，并且在两导体之间接有电源 U，试写出该电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布对称性，确定场域。 （阴影区域） 场的边值问题 图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面 2.6.3 分离变量法 例2-11 一矩形截面的长直接地金属槽，尺寸如图所示，槽的侧壁和底面电位均为零，槽壁与顶盖相互绝缘，顶盖电位为U。槽内真空且无电荷分布，设l a和b，求槽内的电位分布。 o x y ? =0 a b ? =0 ? =0 ? =U ?0 对应的边界条件 解：在矩形槽中电位满足拉氏方程 设 代入拉氏方程，得 引入常数?，上式分解成两个常微分方程 ?称为分离常数 ③ ① ② ④ 当 当 当 （n =1,2,3,…) 应用叠加原理 ，得 由①式 上式对任意的y成立，只能是B0=B1n=B2n=0，代入(1)式得 由②式 上式对任意的x成立，只能是D0=D1n=D2n=0，代入(2)式 （1） (2) (3) 由③式 上式对任意的 y 成立，必有 ， ， ，即 (3) 因此（3）式为 由④式 o x y ? =0 a b ? =0 ? =0 ? =U ?0 将上式两边同乘以 ，并对x 积分，即