南京大学2006年数学分析考研试题及解答..docVIP

南京大学2006年数学分析考研试题 一 、计算下列各题。 1 、求。 2 、求。 3 、设，求。 4 、设，且，求。 5 、设，，求。 二 、设在上二次可导，，且，试证明：，。 三 、设，为参数，讨论方程在内有几个实根，并指出实根的范围。 四 、设，，，试证明级数绝对收敛，并求级数之和。 五、 设为椭球面的上半部，为上的外单位法向量，计算曲面积分。 六、 试求函数项级数和的收敛域（绝对收敛或条件收敛），并讨论它们在收敛域内的一致收敛性。 七 、设，在上二阶可导，，，且当时，，试证明： （1）对任意，。 （2）存在，使。 八、 设，绝对收敛，试证明： ， 其中。 九、 设，在内二次可导，，且存在一点， 使得。试证明：存在两点，使，。 南京大学2006年数学分析考研试题解答 一 1 解 。 2 解 。 3 解 因为 ，（） 已知，所以 。 4 解 ， 因为， 所以在处可导，且。 5 解 存在，使得 ， 于是。 二 证明 ， ， 由，所以，. 三 解 ， ， ， 当时，，在上单调递减； 当，，在上单调递增， 在处达到最小值，， 当时，在内有唯一的实根， 当时，在内有两个实根，，， 当时，在内有唯一的实根， 当时，在内有唯一的实根， 当时，在内无实根。 四 证明 显然，， ，， ， 从而有， 于是有收敛，即绝对收敛。 ， 设，则有，， ， 故有. 五 解 设，利用高斯公式， . 六、证明 设，，， 所以的收敛域为，且是绝对收敛的； 对，， 对任意正整数，取，有 ， 故在上不一致收敛。 设，，， 显然 一致有界， 单调，， 在上一致收敛于0， 由狄利克雷判别法，知在上一致收敛，但非绝对收敛。 七 、1 、证明 用反证法，假若存在，使得， 由，存在，有 ， 从而存在，有，这与条件矛盾，所以结论成立。 2 、证明 设，， 由，于是存在，有，即 ， 八 证明 设，， ， ，， 对任意，在上一致收敛于， 所以由函数列积分的控制收敛定理， . 九 证明 由条件可知，在内达到最大值，， ，，， 存在，使得 ，， 存在，使得 ，， 存在，使得 ， 得， 存在，使得 ， 得.  6