十一校联考数学理科答案1..docVIP

东城区示范校综合练习(一) 高三数学答案 （理） 2011年12月 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．D 7．A 8．B 二、填空题 9．必要非充分条件 10． 11． 12．1 13． 14．①③④ 三、解答题 15　（本小题满分13分） 在中，角所对的边分别为，且满足，． I）求的面积； （II）若，求的值． 解：（I）因为，，又. 由，得. 故 . ………6分 （II），，或 由余弦定理得，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ………………13分 16. （本小题满分13分） 如图，四边形为正方形，⊥平面，∥，==． （I）证明：平面⊥平面； （II）求二面角的余弦值． 解：（I）如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系. 依题意有（1，1，0），（0，0，1），（0，2，0）. 则. 所以. 即, 故⊥平面. 又平面，所以平面⊥平面. …………6分 （II）依题意有（1，0，1），,. 设是平面的法向量，则即 因此可取. 设是平面的法向量，则 可取,所以. 故二面角的余弦值为. ………………13分 17. （本小题满分13分） 已知. （I）求函数在上的最小值； （II）对一切恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）定义域为，， 当,,单调递减， 当，单调递增. ……………………………………2分 ①当无解；……………………………………………………………3分 ②当，即时，； …………4分 ③当即时，在上单调递增，； ………5分 所以 ………6分 （2），则，对一切恒成立.……7分 设，则， 当单调递减， 当单调递增. …………10分 在上，有唯一极小值，即为最小值. 所以，因为对一切恒成成立， 所以. ……………………………13分 18.（本小题满分13分） 已知过点的直线圆交于两点． （），求直线的方程； （与的面积相等，求直线的．（）的斜率存在， 因为 直线过点：． 因为两点上，所以 ， 因为 ，所以 . 所以 所以 到直线的距离等于． 所以 ， 得. 所以 直线的方程为或． …………6分 （与的面积相等，所以， 设 ，，所以 ，． 所以 即　　（*），两点在圆上，所以 把（*）代入得 所以 故直线的， 即． ………13分 19、（本小题满分14分） 已知数列满足，． （Ⅰ）试判断数列是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，． 解（1）, .又， 故为公比为-2的等比数列. …………7分 （2）由（1）得. 所以，， . 所以. …………14分 20．（本小题满分14分） 若，，，为常数， 且 （Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）； （Ⅱ）设为两实数，且,若 求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）． 解：（Ⅰ）恒成立 ; （*） 因为, 所以，故只需（*）恒成立. 综上所述，对所有实数成立的充要条件是. ………4分 （Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称． 因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为. ………6分 2°如果. （1）当时.， 当，因为，所以，故=. 当，因为，所以，故=. 因为，所以，所以即 . 当时，令，则，所以， 当时，，所以=; 时，，所以=. 在区间上的单调增区间的长度和 =. …………10分 （2）当时.， 当，因为，所以，故=. 当，因为，所以，故=. 因为，所以，所以. 当时，令，则，所以， 当时， ，所以=; 时，，所以=; 在区间上的单调增区间的长度和 =. 综上得在区间上的单调增区间的长度和为. …………14分