凸函数及其应用..docVIP

§2 凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式： 设f(x)在区间I上有定义,若对任意x1 、x2I ，[0，1]成立不等式： f(x1+(1-)x2) f(x1)+ (1-)f(x2) 则称f(x)是区间I上的凸函数。 f(x)是区间I上的凸函数当且仅当对任意x1 、x2 、x3I ，x1 x2 x3，下列不等式之一成立: ， 。 事实上，设= ，则0 1 ,且x2 = x3+(1-)x1 ,代入上面任意一式,变形后即得定义形式。 定理：若f(x)在区间I上连续，则f(x)是区间I上凸函数的充要条件为：对任意x1 、x2I 成立 。 证：只须证明充分性。设n = k 2 时成立： 。 考察n = k+1的情形： 　。 设＝[0，1]，则1-＝。注意到kx = ，所以由上可知 。对任意[0，1]，可用二进制数列{}逼近，于是由连续性即证得定理。 注：定理中f(x)连续性条件不能去掉。否则,即使定理中其他条件都成立，在实数域内f(x)也不一定是凸函数（参阅史树中编《凸分析》P.72）。 范例： 1、若f(x)是区间I上的凸函数，则对I的任一内点x ，都存在，而且 。 证：x1 x x2 ，则 。当x1x 时，上式左边，当x2x 时，上式右边，在由单侧导数定义即证。 2、设f(x)是区间I上的凸函数，则在I的任一闭子区间上f(x)有界。 证：设[a，b] I ，x [a，b]，取＝，则x =（1-）a + b , f(x) （1-）f(a) + f(b) Ｍ　 ( 此处Ｍ＝ max(f(a) , f(b)) ) 。 再令c = ，x [a，b]，存在x关于c的对称点，由f(x)的凸性得到 ，因此，f(x) 2 f(c)– Ｍ ＝ ｍ 。 3、设f(x)是区间（a ，b）上的凸函数，则在（a ，b）的任一闭子区间上f(x)满足Lipschitz条件。 证：设（a ，b），取h 0,使得 （a ，b）。x1 、x2，x1 x2 . 令x3 = x2 + h ,则 .又令x3 = x1 – h ,则 －　．因此有 　　。 （注：由1知区间上凸函数一定连续，由3知区间上凸函数内闭一致连续。） 4、设a1 ，a2 ，．．．，a n ，为n个正数，证明： 。 证：取对数原式变形为 ，注意到 ，只须证 ，即证 。为此，设，上式可表示为 。由于 ，f(x)是凸函数，故而命题成立。 5、设 （k = 1，2 ,…, n） 。求证： 。 证：原式可变形为 ，于是由的凸性可得第一个不等式，由的凹性可得第二个不等式。 6、设p 0 , q 0 。求证：当 时 。 证：原式可变形为 ，取对数又可变形为，由的凹性即证。 7、设ai 0 , bi 0 , qi 0 , , 则：。 证：原式变形为 ，取对数又可变形为 。注意到 ， ，上式又可变形为 。令，由f(x)的凸性即证。 8、设 。则： 。 注：若m=2，记，则上式就是不等式 证：记Ａk = ，右边即为 ，不等式变形为： ， 由于 的定义可知不等式成立。 9、设 ， 。求证Minkowski不等式： 。 证：记 再注意到即证。 10、设 是互不相同的正整数，则： 。 证： ，最后一个不等式是因为诸各不相同，故可设 。 11、设f（x）在[a，b]连续，上的凸函数，则： 。 证：在不等式两边令取极限即证。 12、设f(x)在(a ,b)连续，则f(x)是凸函数的充要条件是：对任意含于(a ,b)的闭区间[x-h，x+h]，都有 。 证：（必要性），f(x) ( f(x-t) + f(x+t))，故 2 h f(x) ＝　。 （充分性）假定存在x1 x 2 使 。作辅助函数= f(x) – k (x – x 1 ) – f(x 1) ，（其中k = ）。则 ，因此 。取h 0 ，[x0-h , x0+h] [ x 1 , x 2] ,当时，且不恒为零，因此，再由的定义推出 。 25 25