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解三角形专题复习 解三角形基本知识 一.正弦定理： 1.正弦定理：（其中R是三角形外接圆的半径） 2.变形：① ②角化边 ③边化角 如：△ABC中，①，则△ABC是等腰三角形或直角三角形 ②，则△ABC是等腰三角形。 3.三角形内角平分线定理： 如图△ABC中，AD是的角平分线，则 4.△ABC中，已知锐角A，边b，则 ①时，无解； ②或时，有一个解； ③时，有两个解。 如：①已知,求(有一个解) ②已知,求(有两个解) 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二.三角形面积 1. 2. ,其中是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理 1.余弦定理： 注：后面的变形常与韦达定理结合使用。 2.变形： 注意整体代入，如： 3.三角形中线： △ABC中， D是BC的中点，则 4.三角形的形状 ①若时,角是锐角 ②若时,角是直角 ③若时,角是钝角 如:锐角三角形的三边为,求x的取值范围; 钝角三角形的三边为,求x的取值范围; 5.应用 ①用余弦定理求角时只有一个解 ②已知,求边 四.应用题 1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量； ③将实际问题转化为数学问题； ④答 2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等 如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。 （3）在△ABC中，熟记并会证明： 1）∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°； 2）△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。 二、典例解析 题型1：正、余弦定理 例1．已知△中，，，，，，则 （ ） A.． B ． C． D． 或 B．a=30，c=28，B=60° C．a=14，b=16，A=45° D．a=12，c=15，A=120 2、 3、已知求的边长以及外接圆的面积。 4、在中，若其面积，则=_______。 5、边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A． B． C． D． 6、在中， 例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A； 题型2：三角形面积 例3．在中，，，，求的值和的面积。 例4．在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 例8．在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 的值。 例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。 题型5：正、余弦定理判断三角形形状 例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 1、在△ABC中，若，请判断三角形的形状。 2、在△ABC中，面积且判定三角形形状。 3、在△ABC中，，判断三角形形状。 综合应用 例12．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 （I）求的值； （II）若，求的值。 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤 例15．在中，为锐角，角所对的边分别为，且 （I）求的值； （II）若，求的值。 A C D B A b A C D B 仰角 俯角 方位角 北 张角 北 20 10 A B ? ?C