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解三角形 正弦定理和余弦定理专项训练 方法技巧 命题类型： （1）正弦、余弦定理的应用 （2）三角形形状的判定：判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别． 解三角形常见题型及求解方法 (1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c. (2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C. (3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C. (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况中，角所对的边分别为.若，则 (A)- (B) (C) -1 (D) 1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】由可得 所以．选D. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　) A．30° B．60°C．120° D．150° 解析：由sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理得cosA＝＝＝，于是A ＝30°，故选A. ．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　) A．－　B. C．－ D. 解析：选D.由正弦定理得＝， ∴sinB＝＝＝. ∵ab，A＝60°，∴B为锐角． ∴cosB＝＝ ＝. 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积_______________ 【思路点拨】设三角形一边的长x，可以用x表示其它两边，再利用余弦定理建立方程求出x，最后利用三角形面积公式求出的面积. 【精讲精析】设三角形长为x，则另两边的长为x-4,x+4,那么 【答案】 5．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝，那么角C＝________.解析：由absinC＝得sinC＝. 根据余弦定理得cosC＝， 得sinC＝cosC，即tanC＝1，故C＝. 在中，，则的最大值为 . 【思路点拨】利用三角函数知识，化简，统一变量，然后求最大值. 【精讲精析】令，，则由正弦定理得 且， ＝ (其中 当时，取最大值为求得三角形的面积 【精讲精析】设，由余弦定理 ，得， 解得， 8. 满足A＝45°，a＝2，c＝的ABC的个数为________． 【解析】　由正弦定理得＝，故＝， 即sinC＝，C＝60°或120°. 当C＝60°时，可得B＝75°；当C＝120°时，可得B＝15°. 显然这两解均符合题意，故这样的三角形有2个． 三、解答题 9.在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长．【解】　由cos∠ADC＝0知∠B， 由已知得cosB＝，sin∠ADC＝， 从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝. 由正弦定理得＝， 所以AD＝＝＝25.【名师点评】　本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查． 在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝. (1)若ABC的面积等于，求a，b的值； (2)若sinB＝2sinA，求ABC的面积． a，b的方程组． 【解】　(1)由余弦定理得a2＋b2－ab＝4， 又因为ABC的面积等于， 所以absinC＝，得ab＝4. 联立方程组解得a＝2，b＝2. (2)由正弦定理，已知条件可化为b＝2a， 联立方程组 解得a＝，b＝. 所以ABC的面积S＝absinC＝. ．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0. (1)求角A的大小； (2)若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0， 由正弦定理得， (2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0， ∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0， 即sinB(2cosA－1)＝0. ∵0Bπ， ∴sinB≠0，∴cosA＝. ∵0Aπ，∴A＝. (2)∵S△ABC＝bcsinA＝， 即bcsin＝， ∴bc＝3，① ∵a2＝b2＋c2－2bccosA， ∴b2＋c2＝6，② 由①②得