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初中数学竞赛辅导资料（45-46） 一元两次方程的根 完全平方数和完全平方式 【附详细解答】 一元二次方程的根 【甲】难点点拨 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a,　b,　c的值确定的.　　　　根公式是：x=.　(b2－4ac≥0) 根的判别式 实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是： b2－4ac≥0. 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是： b2－4ac是完全平方式方程有有理数根. 　　③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p2－4q是整数的平方数. 设x1,　x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么 ax12+bx1+c=0　(a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0　(a≠0， b2－4ac≥0)； x1=，　x2=　(a≠0,　b2－4ac≥0)； 　韦达定理：x1+x2= , 　 x1x2= (a≠0,　b2－4ac≥0). 方程整数根的其他条件 整系数方程ax2+bx+c=0　(a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.　 特殊的例子有：　 C=0x1=0 ， 　　 a+b+c=0x1=1 ， 　　　a－b+c=0x1=－1. 【乙】典型例题 已知：a,　b,　c是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题） 证明　（用反证法） 设　两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即 由①得b ≥，b+1 ≥代入③，得 a－c=b+1≥，　4c≤4a－5 ④ ②＋④：a2－4a+5≤0， 即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0. ∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 已知首项系数不相等的两个方程：　 （a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数) 有一个公共根.　求a,　b的值. （1989年全国初中数学联赛题） 解：用因式分解法求得： 方程①的两个根是　a和；　　方程②两根是b和. 由已知a1,　b1且a≠b. 　　∴公共根是a= 　或b=. 　　两个等式去分母后的结果是一样的. 即ab－a=b+2, ab－a－b+1=3, (a－1)(b－1)=3. 　　　　∵a,b都是正整数，　∴　；　或. 解得；　　或. 又解：　设公共根为x0那么 　　先消去二次项： ①×（b－1）－②×（a－1）　得 ［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0. 　　　　整理得　（a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0. ∵a≠b　 ∴x0＝1；　或　(ab－a－b－2)＝0. 当x0＝1时，由方程①得　a=1,　 ∴a－1=0， ∴方程①不是二次方程.　　 ∴x0不是公共根. 　　当(ab－a－b－2)＝0时，　得(a－1)(b－1)=3　……解法同上. 例3.　已知：m,　n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根　　　　　　　　差相等. 求：m+n　的值.　　　　　　　　　　　　（1986年泉州市初二数学双基赛题） 解：方程①两根差是 ＝＝＝ 同理方程②两根差是　 ＝ 依题意，得＝. 两边平方得：m2－4n=n2－4m. 　 ∴（m－n）(m+n+4)=0 　　　　∵m≠n，　 ∴　m+n+4＝0，　m+n＝－4. 例4.　若a,　b,　c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根. 　　　证明：设方程有一个有理数根（m,　n 是互质的整数）. 那么a()2+b()+c=0,　即an2+bmn+cm2=0. 把m,　n按奇数、偶数分类讨论， ∵m,　n互质，∴不可能同为偶数. 　　　　①　当m,　n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0； 　　②　当m为奇数,　n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0； 当m为偶数,　n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0. 综上所述　 不论m,　n取什么整数，方程a()2+b()+c=0都不成立. 　　　即　假设方程有一个有理数根是不成立的. ∴当a,　b,　c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没