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第四章 阿基米德的求圆面积定理 （公元前约225年） 阿基米德生平　 　　从欧几里得到我们将要介绍的下一位伟大数学家——叙拉古城举世无双的阿基米德（公元前287—212年）之间，经历了两三代人之久。阿基米德在其辉煌的数学生涯中，将数学疆界从欧几里得时代向前推进了一大步。实际上，此后将近两千年，数学界再没有出现过像阿基米德这样伟大的数学家。 　　我们有幸了解一些阿基米德的生平，但因为历经沧桑，其细节的真伪往往受到怀疑。同时，他的一些数学著作也有幸流传下来，而且有他自己的注解。所有这些资料，为我们描绘了这位曾经统治古代数学界，受人尊敬，但又有点儿古怪的数学天才的一生。 　　阿基米德出生于西西里岛的叙拉古城。据说，他的父亲是一位天文学家，阿基米德从小就萌发了研究宇宙的兴趣，终生乐此不疲。阿基米德青年时代也曾到过埃及求学，并在亚历山大图书馆学习。这里曾是欧几里得治学之处，阿基米德自然也会受到欧几里得的影响，这一点在阿基米德的数学著作中可以很清楚地看出。 　　据说，阿基米德在尼罗河谷期间，曾发明了所谓“阿基米德螺旋水车”，这种装置可以用来把水从低处提到高处。有趣的是，这一发明，直至今日仍在使用。他的发明证明了阿基米德的双重天才：他既可以脚踏实地地研究实际问题，又能够在最抽象、最微妙的领域中探索。亚历山大显然适合发挥他的才干，但阿基米德还是返回了他的故乡叙拉古城，据我们所知，就在那里度过了他的后半生。叙拉古城虽然十分闭塞，但阿基米德一直保持着与全希腊，特别是与亚历山大学者们的通信联系。这种书信往来，使得阿基米德的许多著作得以保存。 　　阿基米德能够在一段时间里非常专注地研究任何问题，更加提高了他令人敬仰的数学才能。他在进行研究时，常常会忽略日常的生活问题。我们从普卢塔克的著作中得知，阿基米德 　　“……忘记了吃饭，甚至忘记了他自己的存在，有时，人们会强制他洗浴或敷油，他都浑然不知，他会在火烧过的灰烬中，甚至在身上涂的油膏中寻找几何图形，完全进入了一种忘我的境界，更确切些说，他已如醉如痴地沉浸在对科学的热爱之中。” 　　这一段文字描绘了这位数学家心不在焉的形象，对于阿基米德来说，整洁似乎已与他无关。当然，有关阿基米德“心不在焉”的故事，最著名的还是关于叙拉古城国王希伦的王冠的故事。国王怀疑金匠用一些合金偷换了他王冠上的黄金，就请阿基米德来测定王冠的真正含金量。正如故事所说，阿基米德一直解不开这道难题，有一天（在他少有的一次洗浴时），他忽然找到了答案。他兴奋得从浴盆里跳出来，跑到叙拉古城的大街上，边跑边欢呼：“我找到啦！我找到啦！”但遗憾的是，他完全沉浸在他的新发现之中，竟然忘记了还没穿衣服。很难想象街上的人们看见他一丝不挂地招摇过市，会说些什么。 　　这个故事也许是杜撰的，但阿基米德发现流体静力学的基本原理却是千真万确的。他留给我们一篇题为《论浮体》的论文，阐述了他在这一方面的思想。除此以外，他还发展了光学，创立了机械学，他不仅发明了水泵，而且还发现了杠杆、滑轮和复式滑轮的工作原理。普卢塔克记叙过这样一个故事：多疑的希伦国王怀疑这些简单机械装置的能力，就请阿基米德实际演习一下。阿基米德以一种戏剧般的方式满足了国王的要求，他选择了国王一艘最大的船只， 　　“……如果不花费巨大人力，是无法把这艘大船拖离船坞的，况且，船上还满载乘客和货物。阿基米德坐得远远的，手里只握住滑轮的一端，不慌不忙地慢慢拉动绳索，船就平平稳稳地向前滑动，就像在大海里航行一样。” 　　不用说，国王对此留下了深刻印象。或许，他从这件事中察觉了这位天才科学家的某种宝贵才能，遇有危难关头，这样的工程天才可以派上用场。公元前212年，罗马人在马塞卢斯率领下，进攻叙拉古城，危难关头来临。面对罗马的威胁，阿基米德奋起保卫自己的家园，他设计了许多杀伤力很强的武器。他的这项事业，或许只能称为个体军工企业。 　　我们继续引用普卢塔克的《马塞卢斯生平》一书，这本书是这位伟大的罗马传记作家在事件发生后约300年时写的。普卢塔克虽然是在为马塞卢斯作传，但他对阿基米德的钦敬心情却显而易见。这些描述使我们看到了一个非常引人，栩栩如生的阿基米德形象。 　　“马塞卢斯率领大军向叙拉古城进发，”普卢塔克写道，“并在离城不远处安营扎寨，又派使者进城劝降。”但叙拉古城人拒绝投降，马塞卢斯便凭借陆上的兵士和海上60艘装备精良的战船猛扑叙拉古城。马塞卢斯“……有备而来，历年征战，声威赫赫”，但事实却证明他敌不过阿基米德和他凶狠的守城器械。 　　据普卢塔克记载，罗马军团进逼城垣，自信战无不胜。 　　“但是，阿基米德开始摆弄他的器械，他对地面部队启动各种弹射武器，无数大小石块带着惊人的呼啸，猛烈地倾泻下来；乱石之中，无人能够站立，士兵乱了阵脚，纷纷被击中，成堆倒下。” 　　而罗马水师的情况也不见佳， 　　“……从城墙上