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第五章 定积分 学习目的 理解定积分的概念，几何意义与积分存在的充分必要条件，了解可积函数类。 熟练掌握定积分的性质。 理解变上限的定积分，熟练掌握对变上限定积分求导的方法。 熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。 熟练掌握定积分换元及分部积分法。 二．学习重点 熟练掌握定积分的性质, 熟练掌握对变上限定积分求导的方法。 熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式及定积分换元及分部积分法。 三．学习难点 定积分存在的充要条件 四．内容提要 定级分的概念 定义：设上有界 分割：将任意分割成个小区间 作和式：任取 求极限：令若极限存在，则定义 注意：区间的分割和小区间上点的取法都是任意的。即定积分 的值只与被积函数及积分区间有关，与的分法，点的 取法无关，并且= 存在条件 （1）上的连续函数在上必可积。 （2）只有有限个第一类不连续点的函数是可积的。 （3）单调有界函数必可积。 积分的性质 1． 2． 3． 4．设M，m分别是 5．积分中值定理 设上连续，则 （三） 微积分基本定理 定理1 若连续，则 定理2（牛顿—莱布尼茨公式）若连续，的任意一个原函数，即 那么 积分法 换元积分法： 若（1）上连续；（2） （3） 那么 注意：条件（3）的含义是，当 .如求 是不行的。 2.分部积分法 若及连续,则有分部积分公式：。 3.常用积分公式 (1) (2)若为连续的奇函数，则 (3)若为连续的偶函数，则 (4)若为以T为周期的连续函数，则 (5) (6) (7) 广义积分 定义 （1） （2） （3） （4）的右邻域内无界， （5）的左邻域内无界， （6）的邻域内无界， 注意：是互相独立的。 五．例题 第五章 定积分 1. 求下列定积分: (1) 解 设 = 于是 因为 (2) 解: 所以 = (3) 解 原式= = (4) 解 设,于是 原式= = 于是,原式= (5) 解 设 I= 于是 (6) 解 若份区间去掉绝对值,很麻烦,考虑变量代换. 于是 = (7) 解 I= = 由已知,当 当 当 2. 设函数 解 方法1: = 方法2: . 3. 试证：，其中连续。 证： 令，则有 对右边第二个积分，再令从而 ， 所以 。 4. 设函数，当为正整数，且时，证明，并求. 证：因，且，故 ， 又周期为，，故 =， =2， 所以 。 当时，，令，这时 由夹逼准则得 . 5. 设在上连续，在内可导，且， 证明成立不等式 证：先证明不等式 令 则 记 因为，所以当时，，， ，又 ，故 从而，又，故当时，，也有，即 6． 计算下列广义积分: (1) 解 设 于是 = (2) 解 原式= (3) 解 原式= 对于 对于 因而原式= (4) 解 令 于是 7． 设 解 = 8． 设 解 =+ = = = =