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第二章 数列 相关知识复习： 韦达定理： 若，则，（） 二、（1）平方差公式 ； （2）立方和公式 ； （3）立方差公式 ； 本单元知识点： 一、数列的分类（有穷数列和无穷数列或`递增数列、递减数列、常数列和摆动数列） 二、等差数列 定义：，（） 通项公式： 变形：, 3.公式推导： 4.前n项和的通项公式： 5.等差数列的性质（为等差数列）：①若m+n=p+q,则(左右两边项数必须相同)。②仍为等差数列。③若为等差数列，他们的前n项和的比为,则他们的第n项的比。④。⑤若，则。⑥（是常数）是公差为的等差数列 6. n=1 n≥2 （可用于任意数列） 7.若等差数列中，。若有2n（）项,则,且,.,若项数为2n-1，则，且 8.等差中项： 9.等差数列的设法： （1）三个： （2）五个： (3)四个： 三、等比数列 1.定义： n≥2 2.通项公式： (q=1) 3. 前n项和的通项公式： (q≠1) 4.等比中项 5.等比数列的性质：① 仍成等比数列 四、数列求和 1.列项求和 A. B. C. D. 2.错位相减法（用于等差×等比数列） △已知数列是首项为a,公比q不等于1的等比数列，是其前n项和，成等差数列。求和： 解：成等差数列 ∴ 即 解得 `① ② ①－②得 ∴ 3.差分求和求求通项： △数列1，3，6，10，15，… 解： 4.分组求和 △数列，形如这样的数列可将其分成等差和等比两组数列来求和 四、典型例题 1.设等差数列前n项和为，且。（1）求公差d的取值范围。（2）指出 解：（1）由已知得.所以 代入 （2）法一：由为一个递减数列。因此，在中，必存在一个自然数,使得，此时对应的就是中的最大值，由于 ,于是，因此 法二：由于为一个递减数列，令 故n=6时 法三： 因为，，所以当时，y有最大值 二、有两个等差数列，他们的前n项和的比为,求. 解：，所以 三、若数列为等差数列，多少？ 解：∴ 即 ∵，∴d=-1. ∴ 四、有四个数成等差数列，这四个数的平方和是94，第一个数与第四个数的积比第二项与第三项的积少18，求这四个数 解：设这四个数为,则 解得， 或 所以，所求四个数为8，5，2，-1或-1，2，5，8或1，-2，-5，-8或-8，-5，-2，1 五、在等差数列中，若对数列||的前n项和. 解：数列的公差 由 所以数列前20项为正数，第20项以后为非负数 设分别表示数列、||的前n项和， 当时， 当时， ∴数列||的前n项和为 六、有四个数，前三个数为等差数列，后三个数为等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数。 解：设这四个数分别为 由题意得 所以这四个数为12，16，20，25或 七、已知等比数列的首项为1，公比为q,前n项和为，求数列的前n项和 解： 八、数列的前n项和为，若求 解：， 九、数列满足。（1）若数列为等比数列；（2）求的通项公式 解：（1）由得是首项为-1，公比为的等比数列 （2） 十、（构造法）在数列中，，求通项 解：令（P为常数） 即 ∴数列 ∴ 1