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n维线空间上线性变换的矩阵 n维线空间上线性变换的矩阵 n维线空间上线性变换的矩阵 线性变换值域与核 欧氏空间简介 （引入内积） n维线空间上线性变换的矩阵 * 北京大学工学院 线性代数与几何（下） * 第五章 线性空间 ( linear space ) 第30次课 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 我们在前面的讲授时，一直没有讲线性变换的处理。像 3 维几何空间一样，在n维空间中取定一组基，几何的东西转 化成代数（坐标），例如：内积，外积的计算，直线，平面 等。 前已提及，在n维线性空间V中，给定一组基 ε1, ε2, …, εn只要确定了基在线性变换之下的像 Aε1, Aε2, …, Aεn就确定了线性变换。按定义，Aεk 仍然 在V中，我们可以将它表示成基的线性组合，即： , k=1,2,…,n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用矩阵形式就是 对V中任意的向量α，它可以写成基ε1, ε2, …, εn的 线性组合，线性组合的系数称为坐标向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 向量α的像是 定理5.7 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 因此，向量Aα 的坐标是Ax。变换A将α映射Aα，在 一组基下A将α的坐标 x 映射到Aα 的坐标 Ax。 因此，在一组基之下n维空间的线性变换对应于n级方阵。 方阵A称为线性变换A在基{ε}n下的矩阵，它的第k列是Aεk 的坐标。坐标的惟一性导出A的惟一性。事实上，给定一组 基{ε}n，线性变换就与方阵构成了一个1-1对应的关系。 定理5.8， 5.9 例题5.30，5.31 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义：值域 核 不难验证，值域与核 都是线性空间 V 的子空间。核在原 像集合内，而值域在像集合内。对于有限维空间V，核空间 的维数 称为A的零度，记为N(A)； 值域子空间的维数 称为A的秩，记为R(A)。 定理5.10 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 命题：设A是n维线性空间的线性变换，A是A在一组基{ε}n 下的矩阵，则R(A)= R(A), N(A) = N(A) 这里，N(A) 是矩阵A所对应的齐次线性方程组的基础解系的秩。 定理5.11：设A是n维线性空间V上的线性变换，则 例题5.32，5.33 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 我们可以将V中向量的线性变换 β=Aα 与Pn中坐标向量 的线性变换 y=Ax 等同。线性变换的秩 R(A) = dim L(Aε1, Aε2, …, Aεn) = R(Aε1, Aε2, …, Aεn) = R(Ax1, Ax2,…, Axn) = R( AX ) = R(A) A 的核中的元素变换之下的坐标必为零，即 Aα = 0 与线 性方程组 Ax = 0 等价，因此N(A) = A的基础解系的秩 即，维数公式 等价于