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第2章力学中的守恒定律 关于物体运动规律的表述,除了牛顿运动定律之外,还有能量、动量和角动量三个定理和三个守恒定律.表面上看来,这三个定理仅是牛顿运动方程的数学变形,但物理学的发展表明,能量、动量和角动量是更为基本的物理量,它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义.能量、动量和角动量及其各自的守恒定律是既适用于宏观世界,又适用于微观领域;既适用于实物,又适用于场的物理量和运动规律. §2.1 功和能 机械能守恒定律 一 、 功及功率 1. 功 由前面的讨论可知,力可以使物体的运动状态发生变化,那么力对空间的累积会产生什么效应呢?在力学中,力对空间的积累效应表现为功,受力情况不同,功的表达方式也就不同. 恒力的功 恒力即力的大小和方向在整个运动过程中均不变的力.如图2.1所示,设物体在恒力F的作用下,由a沿直线运动到b,其位移为. 由中学物理知道,力在位移上的投影与位移大小的乘积为力的功,以A表示，即 (2.1) 式中为F与位移的夹角.由矢量代数知,两矢量的大小与它们之间夹角余弦的积为一标量, 称为标积.因此,功可用力与位移的标积表示,即 (2.2) 功是标量,其正负由和的夹角决定.由式(2.1)知,当,即时,功为正,说明力对物体做正功(如物体下落时重力作的功);当,即时,功为负,说明力对物体做负功(如物体上升时重力作的功);当,即时,功为零,说明力与位移垂直时该力对物体不做功(如物体作曲线运动时的法向力作的功为零). 从功的定义可知,功是一个标量,若n个外力同时对某一物体作功时,则合外力所作的功等于每个力对物体所作的功的代数和.即 在国际单位制中,力的单位为牛顿,位移的单位为米,则功的单位为焦耳(J),即.功的量纲为MLT. 变力的功 力的大小和方向在整个运动过程中是变化的称为变力.物体在变力作用下一般作曲线运动.设物体在变力的作用下由a沿曲线运动到b.在计算此变力的功时,可以在物体运动的路径上任取一足够小的元弧,它所对应的元位移为.而在元位移的范围内可认为力是恒力.力在元位移中对物体所作的元功以表示.由式(2.2)知: (2.3) 把a到b的总路程分为 N个位移元,并考虑N→∞，求和变为积分，则沿此曲线力所作的总功为 (2.4) 式中 a、b表示曲线运动的起点和终点.(2.4)式即为计算变力作功的一般公式,在数学上称为F的曲线积分.其在直角坐标系中可表示为 (2.5) 例 2.1 如图2.3所示,水平外力P 把单摆从铅直位置(平衡位置)O点拉到与铅直线成角的位置.试计算力对摆球所作的功(摆球的质量 m与摆线的长度l为已知,且在拉小球的过程中每一位置都处于准平衡态). 解 由题意知小球在任一位置都处于准平衡态,其平衡方程可表示为 水平方向 竖直方向 可得 当小球在位置处沿圆弧作微位移时,力 P 所作的元功为 单摆在从0到的过程中拉力P所作的功为 同样可讨论重力对小球所作功。 例 2.2 一质量为的卡车启动时在牵引力的作用下,自原点处从静止开始沿x轴作直线运动.求在前10s内牵引力所作的功. 解 已知力与时间的关系,但不知道力与质点坐标的函数关系,因此不能直接应用公式来计算功,应先求出的表达式才能计算力的功. 故牵引力在前10s内作的功 2. 功率 在实际问题中,不仅需要知道力所作的功,而且还需要知道作功的快慢.力在单位时间内所作的功称为功率,用P表示.设在时间内所作的功为,则在这段时间内的平均功率为 (2.6) （2.7） 可见,瞬时功率等于力与速度的标积. 在国际单位制中,功率的单位是 (J·s-1)称为瓦特(W).其量纲为 . 功率还常用千瓦(KW)、马力(HP)作单位,其换算关系为 二、动能和动能定理 大家知道,飞行的子弹能够穿透木板而作功;落下的铁锤能够把木桩打进泥土而作功等等.运动着的物体具有作功的本领叫动能.当子弹穿过木板时,由于阻力对子弹作负功,使子弹的速度减小.可见,力作功的结果将改变物体的运动状态.以此为线索,建立力的空间累积 (功)与状态变化的关系. 1. 质点的动能定理 首先讨论物体在恒合外力的作用下作匀加速直线运动的情况.如图所示,物体的质量为m,初速度为,所受合外力为F,加速度为a,经过位移s后的速度为,按直线运动的规律及牛顿第二定理有得合外力对物体所作的功为 即： （2.8） 上式中出现了一个其值取决于质点的质量和速率