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浅谈几何变换与辅助线 一 几何变换 1872年德国数学家教育学家克莱因建议几何学应按变换群分类，把几何学定义为在某种变换群下，研究图形的不变性质与不变量的一门学科。 按几何学的群论原则 , 每种变换群对应的一门几何学。等长变换和相似变换构成群G2,它对应初等几何学( 欧氏几何)；仿射变换群G1对应仿射几何学;射影变换群G对应摄影几何学。这三个群有 : G2 ∈ G 1 ∈ G 的关系 。 二 初等几何变换 初等几何就是在移动、相似变换群下研究图形的不变性质与不变量的几何学。初等几何变换只改变图形的位置和大小，不改变图形的形状。 1.合同变换，若将一个图形F，经过某种变换而变为与自己合同的图形F’，那么这种变换叫做合同变换或者移置，这种变换只改变图形位置。合同变换有下列三种：（1）平移、（2）旋转、（3）轴对称变换。 相似变换，若将一个图形F，经过某种变换变成与自己相似的图形F’，那么这种变换称为相似变换，这种变换改变图形大小，不改变形状。位似变换是一种特殊的相似变换。 三 中学大纲要求 通过具体实例认识平移和旋转，探索平移和旋转的基本性质。 在直角坐标系中，能写出已知顶点坐标的多边形沿一条坐标轴或依次沿两条坐标平移后顶点坐标，并知道对应坐标之间的关系，体会图形顶点坐标的变化。 了解图形位似的概念，知道利用位似把图形放大或缩小。 在直角坐标系中，探索将有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上的多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时，所对应图形的位似关系。 让学生认识和欣赏平移与旋转在自然界和现实生活中的应用，进一步发展空间观念，感受图形变换的美学价值。 四 几何变换与辅助线 几何变换就是采用运动的观点研究几何图形的性质，它在证明题、求轨迹、解作图等方面有着广泛的应用。 解证几何题，除少数简单题目外，一般都需要添加辅助线。有很多几何题的条件和结论分布在不同的图形里，位置分散，关系松懈，不容易发现它们之间的内在联系。因而需要将其中一部分元素移动，使条件集中便于推证，反之，若条件过于集中，也要使之分散。这种移动需要借助辅助线来实现,而辅助线的重要思维来源就是初等几何变换。 1 平移 把图形F上的所有点沿着相同的方向移动相同的距离而得到的合同图形F’，这一过程叫做平移。 例1 以△ABC三中线为边构成△A’B’C’,又以△A’B’C’三中线为边，△A”B”C”,求证△ABC～ △A”B”C”,相似比是4:3. 引导：本题由于三角形三条中线相交于点G，要以三条中线构成三角形必须使其分散。G是重心，是三条中线的分隔点，有GD=AD，先考虑△A’B’C’的边，注意到CG是AB边上中线的，能否构造△CGE与△A’B’C’相似，且相似比是2:3.做辅助线BG平移到CE,四边形BGCE是平行四边形。∠BDG+∠GDC=180°，又∠BDG=∠EDC,故∠GDC+∠CDE=180°，所以D D E三点共线，又平行四边形对角线互相平分，故GD=DE,GE=AD,因此△CGE各边长等于△A’B’C’各边长的倍，因此△CGE～ △A’B’C’，相似比是2:3，CD是△CGE的中线，CD=BC,所以△A’B’C’一条中线等于BC，另外两边通过相同方法可以得到相同结论，得证。 证明：将GB平移到CE，则BGCE是平行四边形，其对角线互相平分与点D，所以△ GEC各边是△ ABC各中线的，即相似。由于GEC的中线CD= CB,可见△A’B’C’的一条中线等于 BC,其他边方法类似，故得证。 2 旋转 如果将图形F上各点绕一定点O旋转同一角度θ得到合同图形，这种变换叫旋转，O叫旋转中心，θ叫旋转角。当θ=180°时的旋转叫半周旋转，也叫中心反射或中心对称旋转。 例2 设三角形是正三角形，P是三角形外任一点，求证PB+PCPA. 引导：三条线段比较关系，要转化到同一三角形中，要证与的关系，应旋转，旋转多少度呢？有是正三角形，自然想到旋转60°，构造出正三角形。 证明：△BPC绕点B逆时针旋转60°成△BP’A ，连结PP’。易知PB=P’B, ∠P’BP=60°，故△P’BP为等边三角形，PP’=PB,P’A=PC,在△PP’A中，P’A+P’PPA,即PB+PCPA。 3 轴对称变换 把图形F变换成关于定直线l成轴对称的图形的过程叫轴对称变换或轴反射，l叫反射轴。 例3 ∠ABD=∠ACD=60，∠ADB=90-∠BDC,求证AB=AC 引导：证明两边相等，考虑转化到同一三角形中，题目给出的都是角的关系，通过角证边。注意到条件∠ADB=90-∠BDC，自然可变式为∠ADB＋∠BDC=90°，即2∠ADB＋∠BDC=180°，是一平角，故延长CD