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本科学年论文（设计） 论文题目：泰勒公式的应用 学生姓名： 孙逸瑛 学 号： 1004970234 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学1002 指导教师： 严惠云 完成日期： 2013 年 3月 8 日 泰勒公式的应用 内容摘要 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。 本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。 关键词： 泰勒公式 极限 函数不等式 函数方程目 录 序言……………………………………………………………………………1 一、Taylor公式概述………………………………………………………… 1 （一）Taylor公式的基本形式……………………………………………… 1 （二）Taylor公式余项类型………………………………………………… 2 （三）Taylor公式的定理…………………………………………………… 5 二、Taylor公式的应用……………………………………………………… 5 （一）利用Taylor公式求极限……………………………………………… 6 （二）利用Taylor公式判断函数的极值…………………………………… 7 （三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性……………………………… 7 （四）利用Taylor公式证明中值定理……………………………………… 8 （五）利用Taylor公式求行列式的值………………………………………10 （六）Taylor公式在关于界的估计的应用…………………………………11 三、总结………………………………………………………………………13 参考文献………………………………………………………………………14 序言 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有 即 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 一、Taylor公式简介 （一）Taylor公式的基本形式 无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。比如，为了计算多项式的值，只须用加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。 设给定了一个函数，我们要找到一个在指定点附近与很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式 ， 即 (1) 公式表明，在点附近的函数值可以用的一次多项式近似表示，且当（此时是无穷小），所产生的误差为较高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于的次多项式 (2) 来近似表示，并使当时，其误差是较高阶的无穷小。要想这样，那么