《求一元二次方程的整数根.docxVIP

求一元二次方程的整数根对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况,可以用根的判别式4ac来判别，但对于它的有理数根、整数根的情况，就没有统一的方法来判别，只能对具体问题寻找具体解题方法.本文约定方程的两根为、(≤).1 直接求解 对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)能用因式分解法变形为a(x)(x的，可直接求出原方程的两根，再对两根进行讨论. 例1 设y=a+bx+c.已知：x=1时，y=0;x=-1时，y为偶数.求证：方程(a+b+c)x+ba+bc=0的两个根是整数根.(1993,四川省初中数学竞赛) 证明：将方程(a+b+c)x+ba+bc=0分解为(xb)(xac)=0.有，=a+c.由x=1，y=0得a+b+c=0；由x=-1，y为偶数，设y=2n(n为整数)，则ab+c=2n.解得b=-n，a+c=n，均为整数.所以方程(a+b+c)x+ba+bc=0的两个根是整数根.例2 m是什么整数时，方程(1)6(3m1)x+72=0有两个不相等的正整数根？(1993，天津市初二数学竞赛决赛)解：显然m≠±1.原方程可分解为[(m1)x6][(m+1)x12]=0，有= ，=.∵为正整数，∴m1=1，2，3，6且m+1=1，2，3，4，6，12.解得m=2或m=3.但m=3时，，应舍去.故m=2为所求.2 利用判别式对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，如果是关于参数的次数不高于2的多项式时，可利用判别式进行讨论.例3 设m为整数，且4＜m＜40，又方程2(2m3)x+414m+8=0有两个整数根.求m的值及方程的根. (1993，天津市初二数学竞赛决赛)解：由4(414m+8)=4(2m+1)又因为4＜m＜40， 所以9＜2m+1＜81. 而2m+1为奇数， 故2m+1=或. 则m=12或24. 当m=12时，42x+416=0， 当m=24时， 90x+1976=0，=52，38.例4 求满足方程 +2+1=4y的所有整数对(x,y).(1995,江苏省数学竞赛)解：将原方程变形为24y++1=0. 有=8(+1)=-8≥0， . 故=0，即y=-1,1. 当y=-1时，原方程无解; 当y=1时，=0，x=1或-1. 所以，满足原方程的所有整数对是(1，1)、(-1，1).3 利用韦达定理 设关于x的整系数方程a+bx+c=0(a≠0)的两整数根满足+=-，=，则-，为整数，可利用b、c能被a整除来求解.例 5 若k为正整数，且一元二次方程(k-1)px+k=0的两个根都是正整数，则(+)+(p+k)的值等于___________. (1989，武汉市初中数学竞赛(初二))解：由=知为正整数. ∴k1=1，k=2. 有 ∴=2. 又由+=得p=3. ∴(+)+(p+k)=+)+(2+3)=1989.例 6 方程+ax+1=b的根是自然数.证明：+是合数. (第20届全苏数学竞赛) 证明：原方程整理为+ax+(1b)=0， 于是+=-a，. 所以+=+ =+2++1+ =(1+)(1+). 因为1+≥2，1+≥2， 所以(1+)(1+)为合数，所以+是合数.4 构造方程对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，如果存在整数p，q，r满足p()+q(-，则可利用韦达定理，通过构造方程p+q(+，可求方程(p+q)(p+q)=pr+的整数解.例7 方程px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992.则方程较大根与较小根的比等于_________.(1992，北京市初中数学竞赛初二复赛)解：∵+=-p，=q， ∴= p+q=1992， (. ∵1993为质数， ∴ ∴=2， 故=997.例8 求所有的实数k，使方程k+(k+1)x+(k的根都是整数.(1993，第五届祖冲之杯初中数学竞赛)解：由韦达定理得 +==1， ==1. 由( +)=2， 有( 则或， 所以=2，=4或=0，= 故5 利用整数的性质 可以利用奇偶数性质、质数性质、平方数性质解题. 例9 如果方程 +2kx+2t=0(k与t都是整数)有整数根则它的另一个根必是下列判断的( ).不是整数是整数，但不能判定奇数或偶数是奇数 (D)是偶数解：由2k，2k又是奇数，∴均为奇数. 故选(C) 例10 方程，则的值是( ). (A)1 (B) (1997，北京市初三数学竞赛) 解：由=1997,1997为质数，知 P= 原式==. 故选(C).例11 设a与b是任意给定的整数.试证明方程+10ax+5b+3=0和+10ax+5b3=0都没有整数根.(1978，北京市中学生数学竞赛) 证明：(反证法)设 3=0左边的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，而右边的个位数字只能是2，8，显然左边≠右