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数论难题讲解 1、有两个整数,它们的和恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数. 111A=B×C B+C=11D 分析与解 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=……=16+17，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了。可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111=37×3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？）3倍就不是两位数了。 　　把九个三位数分解： 　　111=37×3 222=37×6=74×3 　　333=37×9 444=37×12=74×6 　　555=37×15 666=37×18=74×9 　　777=37×21 888=37×24=74×12 　　999=37×27 　　把两个因数相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的两位数字相同。所以满足题意的答案是74和3，37和18。 2、把一个三位数的百位和个位上的数字互换,得到一个新的三位数,新旧两个三位数都能被4整除,这样的三位数共有多少个. Abc与cba都能被4整除，关键看末两位数字。因为B的位置不动，先枚举看看， 当B为0时有408,804，为1时有612,216， 依次类推B的0---9十种选择都有三个与之对应，因此为有20个这样的三位数。 还有428,824,236,632等等直到296,692。 我考虑时先把404,808也想进去了，一琢磨不对劲，这样不满足得到新的三位数这一条件。 3、1--9这九个数字各一次,组成三个能被9整除的三位数,要求这三个数的和尽可能大,求这三个数。 九个数的和为45，要求每个数都是9的倍数，只能把45拆成18+18+9，和为9的拆成的最大三位数为621，其它两个就好处理了，最高位为9与8，再搭配应954,873，与621这三个数。 4、96个同学围成一圈,从某个同学开始1---15报数.如果报数一圈一圈地循环进行下去那么有没有人把1----15这15个数都报过.第一个小朋友报过哪几个数. 没有人把15个数都报过。每个人报五个数就会周期变化，因为96除以90余6，每次报数都顺次加6，第一个小朋友报了1后，再报的是7，是因为报到90共6个15结束。再开始从91到96，报1到6再轮到第一个小朋友时报7了，其实就是加了6，下一轮再加6，报13，再下一轮加6得减去一个15，报4，下一轮报10再加6超过15得减15又报1个出现循环。这是因为加了5个6时正好是30的两倍，正好出现循环。其它人同样如此虽报的数不一样但总是五个一周期。 因此第一个人报了1,7，13,4，10这五个数。 题目：数学老师将一个两位自然数ｎ的各位数字和告诉了学生甲，将ｎ的约数个数告诉了学生乙。现在学生甲和乙开始谈话，下面是他们的谈话内容。 甲先说：我不知道ｎ是几。 乙再说：我现在也不知道ｎ是几，但我知道ｎ是奇是偶。 甲又说：我现在知道ｎ是几了。 乙最后说：我也知道了。 假设这两位学生都非常聪明。求ｎ是多少？ 　本题属于逻辑推理与数论结合的一道十分有趣的综合题。需要你静下心来认真琢磨，推敲。答案为30。 　这道题甲乙对话中的每一句的作用都很关键，尤其最后乙说我也知道了。 　这道题可采用穷举与逐步约束，或者叫枚举与筛选。 　先来看甲和乙有可能知道那些数。 　　甲知道n的各位数字和可能为左列，可能的数n为右列。 n的各位数字和 n 1 10 2 11，20 3 12,21,30 4 13，22,31,40 5 14,23,32,41,50 6 15,24,33,42,51,60 7 16,25,34,43,52,61,70 8 17,26,35,44,53,62,71,80 9 18,27,36,45,54,63,72,81,90 10 19,28,37,46,55,64,73,82,91 11 29,38,47,56,65,74,83,92 12 39,48,57,66,75,84，93 13 49,58,67,76,85,94 14 59,68,77,86,95 15 69,78,96 16 79,88,97 17 89,98 18 99 乙可能知道的数是两位自然数的约数个数，最小为2，最大只