(2010年考研数学冲刺试卷+数学一卷二答.docVIP

2010年考研数学冲刺试卷参考答案 数学一 (卷二) 一. 选择题 (1)解 应选（A） 由于 (2)解 应选（B） 由知，且在的两侧由正变负，则是的极大值点； (3) 解 应选（B） 方程的通解为，由知 而 (4) 解 应选（D） 由知，和中至少有一个不成立，则级数和至少有一个发散； （5）解 应选（B） 因为，则，又，则 有非零解，于是；又，而，则也有非零解，于是 （6）解 应选（A） 方法1利用拉格朗日配方法； 方法2 利用排除法，因，故（D）错，，故（B）错，而，故（C）错. (7) 解 应选（A） 由全概率公式及与相互独立得， ，故选（A）。 (8) 解 应选（D） 由于，其中是服从参数为1的指数分布的随机变量的概率密度，因此 ，故选（D）。 二. 填空题 (9) 解 应填 由于 ，则 (10) 解 应填. 将方程变形得 则 . 故应填. （11） 解 应填 由得，故. 令. 故. （12）解 应填 . （13）解 应填 因为. (14) 解 应填 由于服从参数为的分布，因此，故，，，又为的无偏估计量，故 ，解之得，。 三. 解答题 (15) 解 令 ，则 又由，及的连续性知， 则，而 故 (16) 解（1）由于，则 所以当时级数收敛. （2）由可知 则 （17）解 记面上平面的下侧为. 则 （其中为下半球体） （其中为球体） （先二后一） . （18）解 雨水沿着下降最快的方向下流，即沿着的梯度的反方向下流，因而雨水从椭球面上流下的路线在坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与平行. 设雨水流下的路线在面上的投影曲线的方程为，那么在它上面任一点处的切向量为，它应与平行，所以有 即 这就是投影曲线应满足的微分方程，解之得. 令，知，故过房顶点的雨水流下的路线方程为 （19）证（1）由积分中值定理得 . 则 如果在内只有这一个零点，则由的连续性及可知，在和上分别保持恒定的正负号，且这两个区间上正负号相反. 于是 但 矛盾，则在上至少有两个零点. （2）设在内的两个零点为. 令 则 由罗尔定理可知，存在使 即 故 （20）解 方程组（*）的系数矩阵为 ,则， 故（*）的基础解系含个线性无关的解向量，而 ,则， 故不构成（*）的基础解系，但由上面可知线性无关，又由知，（*）有解，而显然,线性无关，故构成（*）的一个基础解系. （21）证 （Ⅰ） 设有特征值，对应的特征向量为，于是，则，而已知，故，如果，则是属于特征值零的特征向量； 如果，则是属于特征值的特征向量，而由题设是的单特征值，故与线性相关，即有数使，于是是属于特征值的特征向量.总之，的特征向量必为的特征向量. （Ⅱ）有个互不相同的特征值，必有个线性无关的特征向量，由（Ⅰ）知它们也是的个线性无关的特征向量，故相似于对角矩阵. (22) 解 （I） （II）和的可能取值为0，1 ， ， 即的联合分布律为 0 1 0 1 （III）由的联合分布律得的分布律分别为 0 1 0 1 0 1 故，从而 ，所以 (23) 解 （I），由矩估计法，得，解之得的矩估计量为。 （II）由于，， 所以。