《数学定理2.docVIP

1、斯特瓦尔特定理 　　设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有 　　ABsup2;·DC+ACsup2;·BD-ADsup2;·BC＝BC·DC·BD。 　　证明：在图2－6中，作AHBC于H。为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有 　　ACsup2;=ADsup2;＋DCsup2;-2DC·DH，（1） 　　ABsup2;=ADsup2;+BDsup2;+2BD·DH。 （2） 　　用BD乘(1)式两边得 　　ACsup2;·BD=ADsup2;·BD+DCsup2;·BD-2DC·DH·BD，（1）′ 　　用DC乘(2)式两边得 　　ABsup2;·DC=ADsup2;·DC＋BDsup2;·DC＋2BD·DH·DC。（2）′ 　　由（1）′+（2）′得到 　　ACsup2;·BD+ABsup2;·DC=ADsup2;(BD＋DC)+DCsup2;·BD＋BDsup2;·DC 　　=ADsup2;·BC+BD·DC·BC。 　　ABsup2;·DC＋ACsup2;·BD-ADsup2;·BC=BC·DC·BD。 　　或者根据余弦定理得 　　ABsup2;=PBsup2;+PAsup2;-2PB·PA·cosAPB 　　ACsup2;=PAsup2;+PCsup2;-2PA·PC·cosAPC 　　两边同时除以PB·PA·PC得 　　ACsup2;·PB+ABsup2;·PC=(PBsup2;+PAsup2;)PC+(PAsup2;+PAsup2;)PB 　　化简即可（注：图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC) 广勾股定理 　　勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”．如果不是直角三角形，而是锐角或钝角三角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢？这就涉及到广勾股定理了． 　　广勾股定理： 　　在任一三角形中， 　　(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍． 　　(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍． 　　证明： 　　设ABC中，BC是锐角A的对边(图2－4)．作CHAB于H， 　　根据勾股定理：BC^2 = BH^2 + CH^2 　　而 BH = AB-AH , CH^2 = AC^2 - AH^2 　　带入后有：BC^2 = (AB-AH)^2 + AC^2 - AH^2 　　简化后：BC^2 = AB^2 ＋AC^2 -2AB·AH 式（1） 　　同理： BC^2 = AB^2＋AC^2 -2AC·AH 　　同理可证明钝角时的结论。 　　推广（高中余弦定理的导出）： 　　设：CosA = AH/AC 　　则：AH = AC·CosA 代入式（1）则有： BC^2 = AB^2 ＋AC^2 -2AB·AC·CosA内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。　证明过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。　　AMD∽△CMB 　　AM/CM=AD/BC 　　SD=1/2AD，BT=1/2BC 　　AM/CM=AS/CT 　　又A=∠C 　　AMS∽△CMT 　　MSX=∠MTY 　　OMX=∠OSX=90° 　　OMX+∠OSX=180° 　　O，S，X，M四点共圆 　　同理，O，T，Y，M四点共圆 　　MTY=∠MOY，MSX=∠MOX 　　MOX=∠MOY ， 　　OM⊥PQ 　　XM=YM 　　这个定理在椭圆中也成立，如图 　　１，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。 　　（）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； 　　（）直线y=k1x交椭圆于两点Ｃ（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞０）；直线y=k2x交椭圆于两点Ｇ（x3，y3），Ｈ（x4，y4）（y４＞０）。 　　求证：k１x１x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4) 　　（）对于（）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。 　　求证： | OP | = | OQ |。 　　（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形） 解答 　　北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下： 　　（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。 　　（）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)