《在学生研究中寻找教育智慧.docVIP

在学生研究中寻找教学智慧 顿继安 倪斯杰 ※ 摘 要：对各种学习水平的学生的观察表明，他们的无前提的思考通常都有合理性成分，有助于还原知识的形成过程。 关键词：学生研究 还原 无前提思考 数学知识体系 知识形成过程 探究 直觉 荷兰数学家、教育家弗雷登塔尔比较了数学研究过程和数学家呈现研究结论的过程后，发现了一种“教学法的颠倒”的现象：数学家通常不是按照自己创造数学的思维过程叙述他的成果，而恰好相反，把发现成果的顺序颠倒过来加以阐述，特别是关键性的概念的定义，它们本来是结构的最终笔触，却总被摆在最前面。 我国数学家林群院士也指出了类似的现象：大部分数学家在其每一个发现和发明前都做了大量的实验、猜测、演算，最后用定理表示出来，但他总是把这些计算过程、演算过程、发现过程统统都拿掉了，就象一只狡猾的狐狸，用它的尾巴扫掉了行进的足迹。 这些现象使得历史上数学探究的真实过程总是被掩盖，对于数学教师来说，尽管通常都有对“展现知识的发生发展过程”的追求，但是由于其自身已经具有了知识的前提，进行数学过程的还原经常是困难的。 通过学生研究，我们发现，和老师相比，学生具有的“无前提性”的优势让他们面对问题的思考过程会显得更加自然，从而有助于让数学知识的形成过程得以还原。 1．不放过学生“走偏的思路” 案例1：学生走了偏路 初中数学“圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，如图所示∠BOC＝2∠BAC）”的证明，教科书呈现的证明方法是：按照圆周角与圆心的关系分为三种情况（如图1，2，3所示），图1的情况很容易证明，然后把后两种情况通过过添加直径AD转化为第一种情况。 图1 图2 图3 这种方法通常也是教师预设的方法，因此，就决定了教学中教师对学生引导的方向，当课堂上，当学生面对第三种情况很难完成添加直径转化为第一种情况的工作时，教师们会通过引导完成这一工作。然而，由于刚刚接触这一问题的学生对于添加直径的目的并不清楚，因此即使连接了直径，仍有许多学生不能明白怎么证明。于是老师做进一步的引导，比如用彩色的粉笔，仔细的描出不同的角，在与图1的比对中让学生认识到两者的关系，直至学生恍然大悟。对于学生与探索过程中的其他表现，老师都认为是“走了偏路”，“浪费了不少的时间”。 然而，一次笔者在一所基础比较薄弱的学校听课时，观察了一位学生面对第三种（图3）情况的探究过程：连接半径OA，于是问他：“为什么连接OA？”他解释道：“这样就得到了等腰△OAC”；“构造等腰三角形有什么用呢？”“就有等角了”；“那接下来呢？”“还没想好”。接下来，由于老师的集中讲解，该生没能再继续思考下去因而探索无果。 等腰三角形提供了两个相等的角，其顶角的外角与底角之间具有二倍关系，因此，学生在证明二倍角关系的时候能够联系起等腰三角形，这种思路是合理的，于是，笔者尝试沿着这名学生的思路往下分析，得到了本题的另外一种证明方法： 因为△OAC是等腰三角形，所以顶角的外角∠DOC＝2∠OAC。 而题目要得到的结果是：∠BOC＝2∠BAC。 比较两式发现左边相差∠DOB，右边相差2∠OAB，而这恰好是由半径OA产生的等腰三角形△OAB的顶角外角和底角，即∠DOB＝2∠OAB，于是问题得以解决。 这名学生由于思维比较慢而没能很快理解老师的思路，于是他的思考具有了“无前提”的特点。通过上面的分析，我们发现，不是学生的路走偏了，是教师“将图3转化为图1” 的前提导致其出现了盲点，也让处于弱势地位的学生 “想当然”地否定了自己的想法，最终也没有让自己的合理反应在理智的分析下结出果实。 可能有人会置疑：学生的方法虽然是自己主动建构的，有其自然性和合理性，但显然的是，书上的证明方法简洁而优美，难道我们不该引导学生认识这样好的方法从而让学生变得更加聪明吗？难道我们要放任学生在低水平上进行思维吗？ 对此，我们做了进一步的调查。首先请学生任意画出一个圆周角，此时，学生画的都是图2所示的情况（这种现象可以从人对对称、稳定的审美追求的角度进行解释），在请同学直接针对图2这种最典型情况进行圆周角定理的证明时,他们的方法都是添加半径（如图4所示）,解答如下： ∵OC=OA ∴∠2=∠3 在△AOC中 ∠6=180o-2∠2 同理： ∠7=180o-2∠1 ∵∠4=360o-（∠6-∠7） =360o-[（180o-2∠2）-（180o-2∠1）] 　　＝360o－180o－180o＋2∠2＋2∠1 　　＝２（∠１＋∠２） 　　＝２∠ＡＣＢ 即：∠ＡＯＢ＝２∠ＡＣＢ 这就为我们勾画出了一个清晰的圆周角定理的探索过程：人对圆周角的认识并不是一开始就形成了完整从简到繁的的三种情况的