《和2.闯荡代数和的空间.docVIP

没有高度的审美本能就不会有伟大的发现。 —庞加莱 1．2 闯荡代数和的空间 在算术中，整数与分数的运算有加、减、乘、除四种。加与减、乘与除分别作为逆运算而出现的，似乎是对立的。不过，引入负数、倒数之后，减去一个数可以看作加上这个数的相反数，除以一个数可以看作乘以这个数的倒数。于是加与减、乘与除又分别统一在更新的加法、乘法中。对立运算的统一正是和谐的最显著的说明。 为了区别算术和的概念，我们称两个或更多的数或量按照代数加法规律取符号的总和有理数无理数复数与相加，就是求一个数，它大于这两个正无理数的任意一组不足近似值的和，而小于这两个正无理数的任意一组过剩近似值的和，这个数就叫做与的和，记作+。 虚数也并不“虚”，它与实数一样，也是现实世界量的反映。这个形式上是从-1开方引起的数在电工学、流体力学等实际问题中都有着广泛的用途。虚数与实数合并，和合起来就是复数。z=a+bi，b=0时，z=a即为实数，i的平方规定为-1。由于实部a、虚部b是实数，因此两个复数的加法也就可以转化为实数的加法。复数的加法结果依然是复数，它的实部为两个复数实部的和，他的虚部为两个复数虚部的和： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。 仔细思考一下，随着数的概念的扩展，和的概念的扩展，是不是感到也是很自然、和谐的呢？ 两个实数的积可以归结为两个正数的积，两个正数的积又可以转化为和。这，要归功于苏格兰数学家纳皮尔纳皮尔处天文学热的年代为了简化“天文数学”计算他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数 这种“化乘除为加减”从而达到简化计算的思路，正是对数运算的明显特征b个a相加可以简化成ab。而正实数的乘法又可以用取对数的方法回到加法。这种循环使数学运算发展到了高一层的境界，还有什么比这种发展更精巧、和谐、完美的？ 1.2.1 数的和 两个数的和可以推广到n个数的和，不论n有多大，其结果还是一个有限形式。我们称其为有限和，如：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)=n。 为了方便，我们记数列，，…，为{}，记数列n项的和Sn=++…+=。 求数列有限和的方法很多，下面作一个简单的小结： 1．公式推导法 首先，我们可以推导公式:，，。 例如，=n2，可设Sn=an3+bn2+cn+d，然后用待定系数法，求a，b，c，d，得。 又如，=n3，可由(k+1)4=k4+4k3+6k2+4k+1，令k=1，2，…，n，相加。根据，的结果，递推相加得，等等，这些n次幂的和的公式都可以用猜想、归纳法证明（参见《合情推理趣引》2.6）=1+2+…+n，则Sn==[+]=n(n+1)(n+2)。 2. 分组化简法 例 求:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2。 解: 两项一组，得Sn=-3-7-…-（4n-1）=-n(2n+1)。 3．裂项相消法 适用于{}，其中an+1-an=常数。常用结论:=(pq)。 …， 。 例 求数列{an}: 1，，，…，的前n项和。 解: 因为an===2(-)。 所以Sn=a1+a2+…+an=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=。 4. 倒序相加法 (等差数列求和法) 适用于距离首尾等距的两项相加得到常数的数列求和。 例 求分母为3，包含在正整数m，n(mn)之间的所有不可约的分数之和。 解: (m+)+(m+)+(m+)+…+(n-)=[(m+)+(n-]?2(n-m)=n2-m2。 5. 错位相减法(等比数列求和法) 若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则求a1b1+a2b2+…+anbn都可以用这个方法。 例 求数列1，3a，5a2，7a3，…，(2n-1)an-1的前n项和(a≠0，1=1-(2n-1)an+， 又1-a≠0，所以Sn=+。 6. 公式代入法 代入等差数列求和公式：Sn==；或者等比数列的求和公式： Sn=。 例 已知数列{}为等差数列，且am=，an=。(m、nN*且m≠n)，求{}前mn项的和。 解: am-an=-=，由公式am-an=(m–n)d，得d=，由a1+(m-1)d=，得a1=， 代入公式Sn=，得Smn=。 7．通项变形法 例 求数列5，55，555，…，的前n项的和。 解: ak=。令k=1，2，…，n，相加。得Sn=。 8．猜想归纳法 例 an=(2n+1)·3n-1，求Sn。 解: S1=3; S2=3+15=18=2·32; S3=18+63=81=3·33; S4=81+243=4·34;…; Sn=n·3n。 9. 奇偶分析法 例 an=，求Sn。 解: 当n=2k时，Sn=，