《代数前沿.docVIP

群的出现 二次方程的解法已经被古巴比伦人(公元前2006年在两河流域（底格里斯河和幼发拉底河）Middle Ages（约公元476年~公元1453年），是欧洲历史上的一个时代（主要是西欧），自西罗马帝国灭亡（公元476年）数百年后起，在世界范围内，封建制度占统治地位的时期，直到文艺复兴时期（公元1453年）之后，资本主义抬头的时期为止。“中世纪”一词是15世纪后期的人文主义者开始使用的。这个时期的欧洲没有一个强有力的政权来统治。封建割据带来频繁的战争，造成科技和生产力发展停滞，人民生活在毫无希望的痛苦中，所以中世纪或者中世纪早期在欧美普遍被称作“黑暗时代”，传统上认为这是欧洲文明史上发展比较缓慢的时期。1643年1月4日－1727年3月31日1642年12月25日－1726年3月20日 2阶: 3阶: 例如: 这些对称以及用系数表示的多项式的解是17世纪末, 在突破三次方程和四次方程问题120年后解决5次方程求解的关键. 与17世纪和19世纪相比, 18世纪是代数发展较慢的时期, 牛顿和莱布尼茨的微积分的方明开辟了数学中的”分析”领域, 分析是一门具有魅力的新领域, 数学家们对它投入了极大的热情. 几乎整个18世纪, 人们一直相信一般五次方程有代数解, 就是 代数解是指: x=[p,q, r, s, t表示的某个代数表达式]. 1732年, 欧拉(1707年4月15日～1783年9月18日 其中, 是某个n-1次辅助方程的解, 而A, B, C, 等是原来方程系数的某个代数表达式. 但是, 如何找到这个n-1次辅助方程的解呢?, 遗憾的是, 欧拉没有再深入研究下去. 范德蒙德(1735-1796, 法国人), 他用通用形式表示方程的每个解. 二次方程的解 关键是(对称多项式表示成初等对称多项式(牛顿定理), 根据韦达定理, 表示成系数.) 三次方程(中作变换)的解 令, 则对的置换(6种), U+V和UV都是对称多项式, 那么根据牛顿定理和韦达定理可得, 当然可以求出U和V. 注意到U和V求出后, 带入上面的式子, 开3次方后有9个解, 其中3个是的, 还有另外6个不是的. 用到的思想方法是: 通过观察解的置换以及观察保持某个表达式不变的那些置换的子集来求解方程. 拉格朗日(1736-1813, 意大利, 16岁在都灵成为数学教授), 在1771年, 拉格朗日在柏林发表《关于方程代数解的思考》, 该文章把通过方程解的置换来求解方程的思想呈现给广大数学家. 虽然是范德蒙德首先得出这一结论, 但是, 当时大家还是认为是拉格朗日的. 没有证据表明拉格朗日知道范德蒙德的工作. 拉格朗日定理: 假设有一个n变量多项式, 那么就有n!个置换这些变量的方法, 在这些置换下, 如果这个多项式有m个不同的值, 那么m整除n!. 例如, 使用构建任意多项式, 如果该多项式是对称多项式, 则m=1, 如果是, 则m=2; 如果是, 则m=3; 如果是, 则m=6; 但是m不可能是4或5. 拉格朗日定理是现代群论的基础之一, 但是群论在拉格朗日时代还不存在. 拉格朗日定理(群论的语言): 如果G是一个群, H是G的一个子群, 那么H的阶整除G的阶. 保罗.鲁菲尼(Paolo Ruffini 1765-1822, 意大利, 医生, 又是数学家, 分别于1803,1808,1813年发表证明一般五次方程没有代数解. 但是, 这些证明没有一个让当时的数学家感到满意, 高斯(1777-1855)在1799年所写的博士论文中也陈述了相同的观点, 但是没有给出证明. 但是高斯的主要成就是给出代数基本定理: 代数学基本定理任何复系数一元n次多项式?方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，等等。只有很少几个数学家能使自己的名字同近代数学中这么多的概念和定理联系在一起。的一般方程在上是不能用根式解的. 但是, 特殊的五次方程有解, 例如. 下面的问题是: 哪些五次方程可以代数求解, 而且这些解可以用加, 减, 乘, 除, 开方符号以及五次方程系数组成的多项式表示? 伽罗瓦(1811-1832, 法国, 他的工作为群论奠定了基础), 伽罗瓦的论文曾经提交到了法国科学院, 柯西被指定审阅论文, 柯西建议他再润色, 1830年伽罗瓦第二次提交论文, 傅立叶生成, 但是不久后傅立叶去世了, 伽罗华死后，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了年后，也就是1846年，才由法国数学家刘