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非平稳信号处理读书报告1130922 机械设计及理论 顾嘉运非平稳信号的处理非平稳信号随机信号可以分成平稳随机信号和非平稳随机信号。所谓非平稳随机信号亦即其统计特性是时间的函数。严格地说，许多实际信号都是属于非平稳随机信号，基于平稳过程与线性过程的传统信号处理理论难以发挥作用，这种情况下就需要能处理非平稳与非线性信号的时频分析方法。但是由于受理论条件的限制，在80年代以前，人们对于信号进行分析仅仅局限于平稳的情况，进入80年代以后，随着时频分析理论与应用的发展，对于非平稳随机信号分析与处理的研究逐渐受到人们的广泛关注，并日益发展起来。工程中获得的动态信号，它们的平稳性是相对的、局部的，而非平稳性是绝对的，广泛的。针对信号的非平稳特性，人们研究了多种方法来提取其特征。目前，非平稳信号处理方法大致有短时傅立叶变换（STFT），Hilbert-Huang变换，小波分析，局部均值分解和奇异值分解技术等。加窗傅里叶变换基于Fourier 变换的传统信号处理方法只能分析信号的统计平均结果, 无法处理非平稳信号。Dennis Gabor于1946年引入了短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform）。短时傅立叶变换的基本思想是：把信号分成许多小的时间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为： 其中，g（t）为一窗口函数，它一般是一光滑的低通函数，只在τ的附近有值，在其余处迅速衰减掉。这样，我们便得到函数在时刻τ附近的频率信息。随着时间τ的变化，g（t）所确定的窗函数在时间轴上移动，对f（t）逐渐进行分析。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为、 这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ和ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望δ和ε都非常小，以便有更好的时频分析效果，但海森堡测不准原理指出δ和ε是互相制约的，两者不可能同时都任意小。这表明，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗口函数g（t）确定后，矩形窗口的形状就确定了，τ、ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g（t）。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即δ要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即ε要小）。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。小波变换小波变换公式推导给定一个基本函数，令 （1）式中均为常数，且。显然，是基本函数先作移位再作伸缩以后得到的。若不断地变化，我们可得到一族函数。给定平方可积的信号，即，则的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为 （2）式中和均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从到。信号的小波变换是和的函数，是时移，是尺度因子。又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，上式的又可解释为信号和一族小波基的内积。母小波可以是实函数，也可以是复函数。若是实信号，也是实的，则也是实的，反之，为复函数。在式（1）中，的作用是确定对分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸缩。我们在1.1节中已指出，由变成，当时，若越大，则的时域支撑范围（即时域宽度）较之变得越大，反之，当时，越小，则的宽度越窄。这样，和联合越来确定了对分析的中心位置及分析的时间宽度，如图1所示。图1 基本小波的伸缩及参数和对分析范围的控制这样，式（2）的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。式（1）中的因子是为了保证在不同的尺度时，始终能和母函数有着相同的能量，即 令，则，这样，上式的积分即等于。令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为： （3）由Parsevals定理，式（2）可重新表为： （4）此式即为小波变换的频域表达式。小波变换的特点比较式（2）和式（4）对小波变换的两个定义可以看出，如果在时域是有限支撑的，那么它和作内积后将保证在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使反映的是在附近的性质。同样，若具有带通性质，即围绕着中心频率是有限支撑的，那么和作内积后也将反映在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位